Математический анализ Примеры

$y = {(5 x + 1)}^{4} {(3 x + 5)}^{- 5}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = {(5 x + 1)}^{4}$ и $g (x) = {(3 x + 5)}^{- 5}$ .

${(5 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(3 x + 5)}^{- 5}] + {(3 x + 5)}^{- 5} \frac{d}{d x} [{(5 x + 1)}^{4}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 5}$ и $g (x) = 3 x + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $3 x + 5$ .

${(5 x + 1)}^{4} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 5}] \frac{d}{d x} [3 x + 5]) + {(3 x + 5)}^{- 5} \frac{d}{d x} [{(5 x + 1)}^{4}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = - 5$ .

${(5 x + 1)}^{4} (- 5 {u_{1}}^{- 6} \frac{d}{d x} [3 x + 5]) + {(3 x + 5)}^{- 5} \frac{d}{d x} [{(5 x + 1)}^{4}]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $3 x + 5$ .

${(5 x + 1)}^{4} (- 5 {(3 x + 5)}^{- 6} \frac{d}{d x} [3 x + 5]) + {(3 x + 5)}^{- 5} \frac{d}{d x} [{(5 x + 1)}^{4}]$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $3 x + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

${(5 x + 1)}^{4} (- 5 {(3 x + 5)}^{- 6} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5])) + {(3 x + 5)}^{- 5} \frac{d}{d x} [{(5 x + 1)}^{4}]$

Этап 3.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

${(5 x + 1)}^{4} (- 5 {(3 x + 5)}^{- 6} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])) + {(3 x + 5)}^{- 5} \frac{d}{d x} [{(5 x + 1)}^{4}]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

${(5 x + 1)}^{4} (- 5 {(3 x + 5)}^{- 6} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])) + {(3 x + 5)}^{- 5} \frac{d}{d x} [{(5 x + 1)}^{4}]$

Этап 3.4

Умножим $3$ на $1$ .

${(5 x + 1)}^{4} (- 5 {(3 x + 5)}^{- 6} (3 + \frac{d}{d x} [5])) + {(3 x + 5)}^{- 5} \frac{d}{d x} [{(5 x + 1)}^{4}]$

Этап 3.5

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

${(5 x + 1)}^{4} (- 5 {(3 x + 5)}^{- 6} (3 + 0)) + {(3 x + 5)}^{- 5} \frac{d}{d x} [{(5 x + 1)}^{4}]$

Этап 3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Добавим $3$ и $0$ .

${(5 x + 1)}^{4} (- 5 {(3 x + 5)}^{- 6} \cdot 3) + {(3 x + 5)}^{- 5} \frac{d}{d x} [{(5 x + 1)}^{4}]$

Этап 3.6.2

Умножим $3$ на $- 5$ .

${(5 x + 1)}^{4} (- 15 {(3 x + 5)}^{- 6}) + {(3 x + 5)}^{- 5} \frac{d}{d x} [{(5 x + 1)}^{4}]$

Этап 4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $5 x + 1$ .

${(5 x + 1)}^{4} (- 15 {(3 x + 5)}^{- 6}) + {(3 x + 5)}^{- 5} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [5 x + 1])$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

${(5 x + 1)}^{4} (- 15 {(3 x + 5)}^{- 6}) + {(3 x + 5)}^{- 5} (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [5 x + 1])$

Этап 4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $5 x + 1$ .

${(5 x + 1)}^{4} (- 15 {(3 x + 5)}^{- 6}) + {(3 x + 5)}^{- 5} (4 {(5 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [5 x + 1])$

Этап 5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем $4$ влево от ${(3 x + 5)}^{- 5}$ .

${(5 x + 1)}^{4} (- 15 {(3 x + 5)}^{- 6}) + 4 \cdot {(3 x + 5)}^{- 5} {(5 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [5 x + 1]$

Этап 5.2

По правилу суммы производная $5 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

${(5 x + 1)}^{4} (- 15 {(3 x + 5)}^{- 6}) + 4 {(3 x + 5)}^{- 5} {(5 x + 1)}^{3} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 5.3

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

${(5 x + 1)}^{4} (- 15 {(3 x + 5)}^{- 6}) + 4 {(3 x + 5)}^{- 5} {(5 x + 1)}^{3} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 5.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

${(5 x + 1)}^{4} (- 15 {(3 x + 5)}^{- 6}) + 4 {(3 x + 5)}^{- 5} {(5 x + 1)}^{3} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 5.5

Умножим $5$ на $1$ .

${(5 x + 1)}^{4} (- 15 {(3 x + 5)}^{- 6}) + 4 {(3 x + 5)}^{- 5} {(5 x + 1)}^{3} (5 + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 5.6

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

${(5 x + 1)}^{4} (- 15 {(3 x + 5)}^{- 6}) + 4 {(3 x + 5)}^{- 5} {(5 x + 1)}^{3} (5 + 0)$

Этап 5.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Добавим $5$ и $0$ .

${(5 x + 1)}^{4} (- 15 {(3 x + 5)}^{- 6}) + 4 {(3 x + 5)}^{- 5} {(5 x + 1)}^{3} \cdot 5$

Этап 5.7.2

Умножим $5$ на $4$ .

${(5 x + 1)}^{4} (- 15 {(3 x + 5)}^{- 6}) + 20 {(3 x + 5)}^{- 5} {(5 x + 1)}^{3}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

${(5 x + 1)}^{4} (- 15 \frac{1}{{(3 x + 5)}^{6}}) + 20 {(3 x + 5)}^{- 5} {(5 x + 1)}^{3}$

Этап 6.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

${(5 x + 1)}^{4} (- 15 \frac{1}{{(3 x + 5)}^{6}}) + 20 \frac{1}{{(3 x + 5)}^{5}} {(5 x + 1)}^{3}$

Этап 6.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Объединим $- 15$ и $\frac{1}{{(3 x + 5)}^{6}}$ .

${(5 x + 1)}^{4} \frac{- 15}{{(3 x + 5)}^{6}} + 20 \frac{1}{{(3 x + 5)}^{5}} {(5 x + 1)}^{3}$

Этап 6.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

${(5 x + 1)}^{4} (- \frac{15}{{(3 x + 5)}^{6}}) + 20 \frac{1}{{(3 x + 5)}^{5}} {(5 x + 1)}^{3}$

Этап 6.3.3

Объединим ${(5 x + 1)}^{4}$ и $\frac{15}{{(3 x + 5)}^{6}}$ .

$- \frac{{(5 x + 1)}^{4} \cdot 15}{{(3 x + 5)}^{6}} + 20 \frac{1}{{(3 x + 5)}^{5}} {(5 x + 1)}^{3}$

Этап 6.3.4

Перенесем $15$ влево от ${(5 x + 1)}^{4}$ .

$- \frac{15 \cdot {(5 x + 1)}^{4}}{{(3 x + 5)}^{6}} + 20 \frac{1}{{(3 x + 5)}^{5}} {(5 x + 1)}^{3}$

Этап 6.3.5

Объединим $20$ и $\frac{1}{{(3 x + 5)}^{5}}$ .

$- \frac{15 {(5 x + 1)}^{4}}{{(3 x + 5)}^{6}} + \frac{20}{{(3 x + 5)}^{5}} {(5 x + 1)}^{3}$

Этап 6.3.6

Объединим $\frac{20}{{(3 x + 5)}^{5}}$ и ${(5 x + 1)}^{3}$ .

$- \frac{15 {(5 x + 1)}^{4}}{{(3 x + 5)}^{6}} + \frac{20 {(5 x + 1)}^{3}}{{(3 x + 5)}^{5}}$

Этап 6.3.7

Чтобы записать $\frac{20 {(5 x + 1)}^{3}}{{(3 x + 5)}^{5}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3 x + 5}{3 x + 5}$ .

$- \frac{15 {(5 x + 1)}^{4}}{{(3 x + 5)}^{6}} + \frac{20 {(5 x + 1)}^{3}}{{(3 x + 5)}^{5}} \cdot \frac{3 x + 5}{3 x + 5}$

Этап 6.3.8

Запишем каждое выражение с общим знаменателем ${(3 x + 5)}^{6}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.8.1

Умножим $\frac{20 {(5 x + 1)}^{3}}{{(3 x + 5)}^{5}}$ на $\frac{3 x + 5}{3 x + 5}$ .

$- \frac{15 {(5 x + 1)}^{4}}{{(3 x + 5)}^{6}} + \frac{20 {(5 x + 1)}^{3} (3 x + 5)}{{(3 x + 5)}^{5} (3 x + 5)}$

Этап 6.3.8.2

Умножим ${(3 x + 5)}^{5}$ на $3 x + 5$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.8.2.1

Умножим ${(3 x + 5)}^{5}$ на $3 x + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.8.2.1.1

Возведем $3 x + 5$ в степень $1$ .

$- \frac{15 {(5 x + 1)}^{4}}{{(3 x + 5)}^{6}} + \frac{20 {(5 x + 1)}^{3} (3 x + 5)}{{(3 x + 5)}^{5} {(3 x + 5)}^{1}}$

Этап 6.3.8.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{15 {(5 x + 1)}^{4}}{{(3 x + 5)}^{6}} + \frac{20 {(5 x + 1)}^{3} (3 x + 5)}{{(3 x + 5)}^{5 + 1}}$

Этап 6.3.8.2.2

Добавим $5$ и $1$ .

$- \frac{15 {(5 x + 1)}^{4}}{{(3 x + 5)}^{6}} + \frac{20 {(5 x + 1)}^{3} (3 x + 5)}{{(3 x + 5)}^{6}}$

Этап 6.3.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 15 {(5 x + 1)}^{4} + 20 {(5 x + 1)}^{3} (3 x + 5)}{{(3 x + 5)}^{6}}$

Этап 6.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Вынесем множитель $5 {(5 x + 1)}^{3}$ из $- 15 {(5 x + 1)}^{4} + 20 {(5 x + 1)}^{3} (3 x + 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.1

Вынесем множитель $5 {(5 x + 1)}^{3}$ из $- 15 {(5 x + 1)}^{4}$ .

$\frac{5 {(5 x + 1)}^{3} (- 3 (5 x + 1)) + 20 {(5 x + 1)}^{3} (3 x + 5)}{{(3 x + 5)}^{6}}$

Этап 6.4.1.2

Вынесем множитель $5 {(5 x + 1)}^{3}$ из $20 {(5 x + 1)}^{3} (3 x + 5)$ .

$\frac{5 {(5 x + 1)}^{3} (- 3 (5 x + 1)) + 5 {(5 x + 1)}^{3} (4 (3 x + 5))}{{(3 x + 5)}^{6}}$

Этап 6.4.1.3

Вынесем множитель $5 {(5 x + 1)}^{3}$ из $5 {(5 x + 1)}^{3} (- 3 (5 x + 1)) + 5 {(5 x + 1)}^{3} (4 (3 x + 5))$ .

$\frac{5 {(5 x + 1)}^{3} (- 3 (5 x + 1) + 4 (3 x + 5))}{{(3 x + 5)}^{6}}$

Этап 6.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 {(5 x + 1)}^{3} (- 3 (5 x) - 3 \cdot 1 + 4 (3 x + 5))}{{(3 x + 5)}^{6}}$

Этап 6.4.3

Умножим $5$ на $- 3$ .

$\frac{5 {(5 x + 1)}^{3} (- 15 x - 3 \cdot 1 + 4 (3 x + 5))}{{(3 x + 5)}^{6}}$

Этап 6.4.4

Умножим $- 3$ на $1$ .

$\frac{5 {(5 x + 1)}^{3} (- 15 x - 3 + 4 (3 x + 5))}{{(3 x + 5)}^{6}}$

Этап 6.4.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 {(5 x + 1)}^{3} (- 15 x - 3 + 4 (3 x) + 4 \cdot 5)}{{(3 x + 5)}^{6}}$

Этап 6.4.6

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{5 {(5 x + 1)}^{3} (- 15 x - 3 + 12 x + 4 \cdot 5)}{{(3 x + 5)}^{6}}$

Этап 6.4.7

Умножим $4$ на $5$ .

$\frac{5 {(5 x + 1)}^{3} (- 15 x - 3 + 12 x + 20)}{{(3 x + 5)}^{6}}$

Этап 6.4.8

Добавим $- 15 x$ и $12 x$ .

$\frac{5 {(5 x + 1)}^{3} (- 3 x - 3 + 20)}{{(3 x + 5)}^{6}}$

Этап 6.4.9

Добавим $- 3$ и $20$ .

$\frac{5 {(5 x + 1)}^{3} (- 3 x + 17)}{{(3 x + 5)}^{6}}$

Этап 6.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 x$ .

$\frac{5 {(5 x + 1)}^{3} (- (3 x) + 17)}{{(3 x + 5)}^{6}}$

Этап 6.6

Перепишем $17$ в виде $- 1 (- 17)$ .

$\frac{5 {(5 x + 1)}^{3} (- (3 x) - 1 (- 17))}{{(3 x + 5)}^{6}}$

Этап 6.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 x) - 1 (- 17)$ .

$\frac{5 {(5 x + 1)}^{3} (- (3 x - 17))}{{(3 x + 5)}^{6}}$

Этап 6.8

Перепишем $- (3 x - 17)$ в виде $- 1 (3 x - 17)$ .

$\frac{5 {(5 x + 1)}^{3} (- 1 (3 x - 17))}{{(3 x + 5)}^{6}}$

Этап 6.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{(5 {(5 x + 1)}^{3}) (3 x - 17)}{{(3 x + 5)}^{6}}$

Этап 6.10

Изменим порядок множителей в $- \frac{(5 {(5 x + 1)}^{3}) (3 x - 17)}{{(3 x + 5)}^{6}}$ .

$- \frac{5 {(5 x + 1)}^{3} (3 x - 17)}{{(3 x + 5)}^{6}}$