Математический анализ Примеры

$y = \frac{4 x^{2}}{{(7 - 5 x)}^{3}}$

Этап 1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{4 x^{2}}{{(7 - 5 x)}^{3}}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{{(7 - 5 x)}^{3}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{{(7 - 5 x)}^{3}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = {(7 - 5 x)}^{3}$ .

$4 \frac{{(7 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(7 - 5 x)}^{3}]}{{({(7 - 5 x)}^{3})}^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перемножим экспоненты в ${({(7 - 5 x)}^{3})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{{(7 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(7 - 5 x)}^{3}]}{{(7 - 5 x)}^{3 \cdot 2}}$

Этап 3.1.2

Умножим $3$ на $2$ .

$4 \frac{{(7 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(7 - 5 x)}^{3}]}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 \frac{{(7 - 5 x)}^{3} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [{(7 - 5 x)}^{3}]}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 3.3

Перенесем $2$ влево от ${(7 - 5 x)}^{3}$ .

$4 \frac{2 \cdot {(7 - 5 x)}^{3} x - x^{2} \frac{d}{d x} [{(7 - 5 x)}^{3}]}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 4

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = 7 - 5 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $7 - 5 x$ .

$4 \frac{2 {(7 - 5 x)}^{3} x - x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [7 - 5 x])}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$4 \frac{2 {(7 - 5 x)}^{3} x - x^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [7 - 5 x])}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 4.3

Заменим все вхождения $u$ на $7 - 5 x$ .

$4 \frac{2 {(7 - 5 x)}^{3} x - x^{2} (3 {(7 - 5 x)}^{2} \frac{d}{d x} [7 - 5 x])}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$4 \frac{2 {(7 - 5 x)}^{3} x - 3 x^{2} ({(7 - 5 x)}^{2} \frac{d}{d x} [7 - 5 x])}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 5.2

По правилу суммы производная $7 - 5 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$4 \frac{2 {(7 - 5 x)}^{3} x - 3 x^{2} ({(7 - 5 x)}^{2} (\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 5 x]))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 5.3

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 \frac{2 {(7 - 5 x)}^{3} x - 3 x^{2} ({(7 - 5 x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- 5 x]))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 5.4

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$4 \frac{2 {(7 - 5 x)}^{3} x - 3 x^{2} ({(7 - 5 x)}^{2} \frac{d}{d x} [- 5 x])}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 5.5

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{2 {(7 - 5 x)}^{3} x - 3 x^{2} ({(7 - 5 x)}^{2} (- 5 \frac{d}{d x} [x]))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 5.6

Умножим $- 5$ на $- 3$ .

$4 \frac{2 {(7 - 5 x)}^{3} x + 15 x^{2} ({(7 - 5 x)}^{2} (\frac{d}{d x} [x]))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 5.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \frac{2 {(7 - 5 x)}^{3} x + 15 x^{2} ({(7 - 5 x)}^{2} \cdot 1)}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 5.8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1

Умножим ${(7 - 5 x)}^{2}$ на $1$ .

$4 \frac{2 {(7 - 5 x)}^{3} x + 15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2}}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 5.8.2

Объединим $4$ и $\frac{2 {(7 - 5 x)}^{3} x + 15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2}}{{(7 - 5 x)}^{6}}$ .

$\frac{4 (2 {(7 - 5 x)}^{3} x + 15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 (2 {(7 - 5 x)}^{3} x) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 6.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$\frac{4 (2 (7^{3} + 3 \cdot 7^{2} (- 5 x) + 3 \cdot 7 {(- 5 x)}^{2} + {(- 5 x)}^{3}) x) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 6.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Возведем $7$ в степень $3$ .

$\frac{4 (2 (343 + 3 \cdot 7^{2} (- 5 x) + 3 \cdot 7 {(- 5 x)}^{2} + {(- 5 x)}^{3}) x) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 6.2.2.2

Возведем $7$ в степень $2$ .

$\frac{4 (2 (343 + 3 \cdot 49 (- 5 x) + 3 \cdot 7 {(- 5 x)}^{2} + {(- 5 x)}^{3}) x) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 6.2.2.3

Умножим $3$ на $49$ .

$\frac{4 (2 (343 + 147 (- 5 x) + 3 \cdot 7 {(- 5 x)}^{2} + {(- 5 x)}^{3}) x) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 6.2.2.4

Умножим $- 5$ на $147$ .

$\frac{4 (2 (343 - 735 x + 3 \cdot 7 {(- 5 x)}^{2} + {(- 5 x)}^{3}) x) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 6.2.2.5

Умножим $3$ на $7$ .

$\frac{4 (2 (343 - 735 x + 21 {(- 5 x)}^{2} + {(- 5 x)}^{3}) x) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 6.2.2.6

Применим правило умножения к $- 5 x$ .

$\frac{4 (2 (343 - 735 x + 21 ({(- 5)}^{2} x^{2}) + {(- 5 x)}^{3}) x) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 6.2.2.7

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$\frac{4 (2 (343 - 735 x + 21 (25 x^{2}) + {(- 5 x)}^{3}) x) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 6.2.2.8

Умножим $25$ на $21$ .

$\frac{4 (2 (343 - 735 x + 525 x^{2} + {(- 5 x)}^{3}) x) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 6.2.2.9

Применим правило умножения к $- 5 x$ .

$\frac{4 (2 (343 - 735 x + 525 x^{2} + {(- 5)}^{3} x^{3}) x) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 6.2.2.10

Возведем $- 5$ в степень $3$ .

$\frac{4 (2 (343 - 735 x + 525 x^{2} - 125 x^{3}) x) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 6.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 ((2 \cdot 343 + 2 (- 735 x) + 2 (525 x^{2}) + 2 (- 125 x^{3})) x) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 6.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1

Умножим $2$ на $343$ .

$\frac{4 ((686 + 2 (- 735 x) + 2 (525 x^{2}) + 2 (- 125 x^{3})) x) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 6.2.4.2

Умножим $- 735$ на $2$ .

$\frac{4 ((686 - 1470 x + 2 (525 x^{2}) + 2 (- 125 x^{3})) x) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 6.2.4.3

Умножим $525$ на $2$ .

$\frac{4 ((686 - 1470 x + 1050 x^{2} + 2 (- 125 x^{3})) x) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 6.2.4.4

Умножим $- 125$ на $2$ .

$\frac{4 ((686 - 1470 x + 1050 x^{2} - 250 x^{3}) x) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 6.2.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 (686 x - 1470 x \cdot x + 1050 x^{2} x - 250 x^{3} x) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 6.2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.6.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.6.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{4 (686 x - 1470 (x \cdot x) + 1050 x^{2} x - 250 x^{3} x) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 6.2.6.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{4 (686 x - 1470 x^{2} + 1050 x^{2} x - 250 x^{3} x) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 6.2.6.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.6.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{4 (686 x - 1470 x^{2} + 1050 (x \cdot x^{2}) - 250 x^{3} x) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 6.2.6.2.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.6.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{4 (686 x - 1470 x^{2} + 1050 (x^{1} x^{2}) - 250 x^{3} x) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 6.2.6.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4 (686 x - 1470 x^{2} + 1050 x^{1 + 2} - 250 x^{3} x) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 6.2.6.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{4 (686 x - 1470 x^{2} + 1050 x^{3} - 250 x^{3} x) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 6.2.6.3

Умножим $x^{3}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.6.3.1

Перенесем $x$ .

$\frac{4 (686 x - 1470 x^{2} + 1050 x^{3} - 250 (x \cdot x^{3})) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 6.2.6.3.2

Умножим $x$ на $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.6.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{4 (686 x - 1470 x^{2} + 1050 x^{3} - 250 (x^{1} x^{3})) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 6.2.6.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4 (686 x - 1470 x^{2} + 1050 x^{3} - 250 x^{1 + 3}) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 6.2.6.3.3

Добавим $1$ и $3$ .

$\frac{4 (686 x - 1470 x^{2} + 1050 x^{3} - 250 x^{4}) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 6.2.7

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 (686 x) + 4 (- 1470 x^{2}) + 4 (1050 x^{3}) + 4 (- 250 x^{4}) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 6.2.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.8.1

Умножим $686$ на $4$ .

$\frac{2744 x + 4 (- 1470 x^{2}) + 4 (1050 x^{3}) + 4 (- 250 x^{4}) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 6.2.8.2

Умножим $- 1470$ на $4$ .

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4 (1050 x^{3}) + 4 (- 250 x^{4}) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 6.2.8.3

Умножим $1050$ на $4$ .

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} + 4 (- 250 x^{4}) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 6.2.8.4

Умножим $- 250$ на $4$ .

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 6.2.9

Перепишем ${(7 - 5 x)}^{2}$ в виде $(7 - 5 x) (7 - 5 x)$ .

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (15 x^{2} ((7 - 5 x) (7 - 5 x)))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 6.2.10

Развернем $(7 - 5 x) (7 - 5 x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (15 x^{2} (7 (7 - 5 x) - 5 x (7 - 5 x)))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 6.2.10.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (15 x^{2} (7 \cdot 7 + 7 (- 5 x) - 5 x (7 - 5 x)))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 6.2.10.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (15 x^{2} (7 \cdot 7 + 7 (- 5 x) - 5 x \cdot 7 - 5 x (- 5 x)))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 6.2.11

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.11.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.11.1.1

Умножим $7$ на $7$ .

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (15 x^{2} (49 + 7 (- 5 x) - 5 x \cdot 7 - 5 x (- 5 x)))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 6.2.11.1.2

Умножим $- 5$ на $7$ .

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (15 x^{2} (49 - 35 x - 5 x \cdot 7 - 5 x (- 5 x)))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 6.2.11.1.3

Умножим $7$ на $- 5$ .

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (15 x^{2} (49 - 35 x - 35 x - 5 x (- 5 x)))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 6.2.11.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (15 x^{2} (49 - 35 x - 35 x - 5 \cdot - 5 x \cdot x))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 6.2.11.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.11.1.5.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (15 x^{2} (49 - 35 x - 35 x - 5 \cdot - 5 (x \cdot x)))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 6.2.11.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (15 x^{2} (49 - 35 x - 35 x - 5 \cdot - 5 x^{2}))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 6.2.11.1.6

Умножим $- 5$ на $- 5$ .

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (15 x^{2} (49 - 35 x - 35 x + 25 x^{2}))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 6.2.11.2

Вычтем $35 x$ из $- 35 x$ .

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (15 x^{2} (49 - 70 x + 25 x^{2}))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 6.2.12

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (15 x^{2} \cdot 49 + 15 x^{2} (- 70 x) + 15 x^{2} (25 x^{2}))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 6.2.13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.13.1

Умножим $49$ на $15$ .

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (735 x^{2} + 15 x^{2} (- 70 x) + 15 x^{2} (25 x^{2}))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 6.2.13.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (735 x^{2} + 15 \cdot - 70 x^{2} x + 15 x^{2} (25 x^{2}))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 6.2.13.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (735 x^{2} + 15 \cdot - 70 x^{2} x + 15 \cdot 25 x^{2} x^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 6.2.14

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.14.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.14.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (735 x^{2} + 15 \cdot - 70 (x \cdot x^{2}) + 15 \cdot 25 x^{2} x^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 6.2.14.1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.14.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (735 x^{2} + 15 \cdot - 70 (x^{1} x^{2}) + 15 \cdot 25 x^{2} x^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 6.2.14.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (735 x^{2} + 15 \cdot - 70 x^{1 + 2} + 15 \cdot 25 x^{2} x^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 6.2.14.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (735 x^{2} + 15 \cdot - 70 x^{3} + 15 \cdot 25 x^{2} x^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 6.2.14.2

Умножим $15$ на $- 70$ .

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (735 x^{2} - 1050 x^{3} + 15 \cdot 25 x^{2} x^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 6.2.14.3

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.14.3.1

Перенесем $x^{2}$ .

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (735 x^{2} - 1050 x^{3} + 15 \cdot 25 (x^{2} x^{2}))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 6.2.14.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (735 x^{2} - 1050 x^{3} + 15 \cdot 25 x^{2 + 2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 6.2.14.3.3

Добавим $2$ и $2$ .

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (735 x^{2} - 1050 x^{3} + 15 \cdot 25 x^{4})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 6.2.14.4

Умножим $15$ на $25$ .

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (735 x^{2} - 1050 x^{3} + 375 x^{4})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 6.2.15

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (735 x^{2}) + 4 (- 1050 x^{3}) + 4 (375 x^{4})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 6.2.16

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.16.1

Умножим $735$ на $4$ .

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 2940 x^{2} + 4 (- 1050 x^{3}) + 4 (375 x^{4})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 6.2.16.2

Умножим $- 1050$ на $4$ .

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 2940 x^{2} - 4200 x^{3} + 4 (375 x^{4})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 6.2.16.3

Умножим $375$ на $4$ .

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 2940 x^{2} - 4200 x^{3} + 1500 x^{4}}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 6.2.17

Добавим $- 5880 x^{2}$ и $2940 x^{2}$ .

$\frac{2744 x + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} - 2940 x^{2} - 4200 x^{3} + 1500 x^{4}}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 6.2.18

Вычтем $4200 x^{3}$ из $4200 x^{3}$ .

$\frac{2744 x - 1000 x^{4} - 2940 x^{2} + 0 + 1500 x^{4}}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 6.2.19

Добавим $2744 x$ и $0$ .

$\frac{- 1000 x^{4} - 2940 x^{2} + 2744 x + 1500 x^{4}}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 6.2.20

Добавим $- 1000 x^{4}$ и $1500 x^{4}$ .

$\frac{500 x^{4} - 2940 x^{2} + 2744 x}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 6.2.21

Перепишем $500 x^{4} - 2940 x^{2} + 2744 x$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.21.1

Вынесем множитель $4 x$ из $500 x^{4} - 2940 x^{2} + 2744 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.21.1.1

Вынесем множитель $4 x$ из $500 x^{4}$ .

$\frac{4 x (125 x^{3}) - 2940 x^{2} + 2744 x}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 6.2.21.1.2

Вынесем множитель $4 x$ из $- 2940 x^{2}$ .

$\frac{4 x (125 x^{3}) + 4 x (- 735 x) + 2744 x}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 6.2.21.1.3

Вынесем множитель $4 x$ из $2744 x$ .

$\frac{4 x (125 x^{3}) + 4 x (- 735 x) + 4 x (686)}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 6.2.21.1.4

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x (125 x^{3}) + 4 x (- 735 x)$ .

$\frac{4 x (125 x^{3} - 735 x) + 4 x (686)}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 6.2.21.1.5

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x (125 x^{3} - 735 x) + 4 x (686)$ .

$\frac{4 x (125 x^{3} - 735 x + 686)}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 6.2.21.2

Разложим $125 x^{3} - 735 x + 686$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.21.2.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 686, \pm 2, \pm 343, \pm 7, \pm 98, \pm 14, \pm 49$

$q = \pm 1, \pm 125, \pm 5, \pm 25$

Этап 6.2.21.2.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.008, \pm 0.2, \pm 0.04, \pm 686, \pm 5.488, \pm 137.2, \pm 27.44, \pm 2, \pm 0.016, \pm 0.4, \pm 0.08, \pm 343, \pm 2.744, \pm 68.6, \pm 13.72, \pm 7, \pm 0.056, \pm 1.4, \pm 0.28, \pm 98, \pm 0.784, \pm 19.6, \pm 3.92, \pm 14, \pm 0.112, \pm 2.8, \pm 0.56, \pm 49, \pm 0.392, \pm 9.8, \pm 1.96$

Этап 6.2.21.2.3

Подставим $1.4$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $1.4$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.21.2.3.1

Подставим $1.4$ в многочлен.

$125 \cdot {1.4}^{3} - 735 \cdot 1.4 + 686$

Этап 6.2.21.2.3.2

Возведем $1.4$ в степень $3$ .

$125 \cdot 2.744 - 735 \cdot 1.4 + 686$

Этап 6.2.21.2.3.3

Умножим $125$ на $2.744$ .

$343 - 735 \cdot 1.4 + 686$

Этап 6.2.21.2.3.4

Умножим $- 735$ на $1.4$ .

$343 - 1029 + 686$

Этап 6.2.21.2.3.5

Вычтем $1029$ из $343$ .

$- 686 + 686$

Этап 6.2.21.2.3.6

Добавим $- 686$ и $686$ .

$0$

Этап 6.2.21.2.4

Поскольку $1.4$ — известный корень, разделим многочлен на $5 x - 7$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{125 x^{3} - 735 x + 686}{5 x - 7}$

Этап 6.2.21.2.5

Разделим $125 x^{3} - 735 x + 686$ на $5 x - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.21.2.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$5 x$

$7$

$125 x^{3}$

$0 x^{2}$

$735 x$

$686$

Этап 6.2.21.2.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $125 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $5 x$ .

					$25 x^{2}$
	$5 x$	-	$7$		$125 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$735 x$	+	$686$

Этап 6.2.21.2.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$25 x^{2}$
$5 x$	-	$7$		$125 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$735 x$	+	$686$
			+	$125 x^{3}$	-	$175 x^{2}$

Этап 6.2.21.2.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $125 x^{3} - 175 x^{2}$ .

				$25 x^{2}$
$5 x$	-	$7$		$125 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$735 x$	+	$686$
			-	$125 x^{3}$	+	$175 x^{2}$

Этап 6.2.21.2.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$25 x^{2}$
$5 x$	-	$7$		$125 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$735 x$	+	$686$
			-	$125 x^{3}$	+	$175 x^{2}$
					+	$175 x^{2}$

Этап 6.2.21.2.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$25 x^{2}$
$5 x$	-	$7$		$125 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$735 x$	+	$686$
			-	$125 x^{3}$	+	$175 x^{2}$
					+	$175 x^{2}$	-	$735 x$

Этап 6.2.21.2.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $175 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $5 x$ .

				$25 x^{2}$	+	$35 x$
$5 x$	-	$7$		$125 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$735 x$	+	$686$
			-	$125 x^{3}$	+	$175 x^{2}$
					+	$175 x^{2}$	-	$735 x$

Этап 6.2.21.2.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$25 x^{2}$	+	$35 x$
$5 x$	-	$7$		$125 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$735 x$	+	$686$
			-	$125 x^{3}$	+	$175 x^{2}$
					+	$175 x^{2}$	-	$735 x$
					+	$175 x^{2}$	-	$245 x$

Этап 6.2.21.2.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $175 x^{2} - 245 x$ .

				$25 x^{2}$	+	$35 x$
$5 x$	-	$7$		$125 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$735 x$	+	$686$
			-	$125 x^{3}$	+	$175 x^{2}$
					+	$175 x^{2}$	-	$735 x$
					-	$175 x^{2}$	+	$245 x$

Этап 6.2.21.2.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$25 x^{2}$	+	$35 x$
$5 x$	-	$7$		$125 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$735 x$	+	$686$
			-	$125 x^{3}$	+	$175 x^{2}$
					+	$175 x^{2}$	-	$735 x$
					-	$175 x^{2}$	+	$245 x$
							-	$490 x$

Этап 6.2.21.2.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$25 x^{2}$	+	$35 x$
$5 x$	-	$7$		$125 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$735 x$	+	$686$
			-	$125 x^{3}$	+	$175 x^{2}$
					+	$175 x^{2}$	-	$735 x$
					-	$175 x^{2}$	+	$245 x$
							-	$490 x$	+	$686$

Этап 6.2.21.2.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 490 x$ на член с максимальной степенью в делителе $5 x$ .

				$25 x^{2}$	+	$35 x$	-	$98$
$5 x$	-	$7$		$125 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$735 x$	+	$686$
			-	$125 x^{3}$	+	$175 x^{2}$
					+	$175 x^{2}$	-	$735 x$
					-	$175 x^{2}$	+	$245 x$
							-	$490 x$	+	$686$

Этап 6.2.21.2.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$25 x^{2}$	+	$35 x$	-	$98$
$5 x$	-	$7$		$125 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$735 x$	+	$686$
			-	$125 x^{3}$	+	$175 x^{2}$
					+	$175 x^{2}$	-	$735 x$
					-	$175 x^{2}$	+	$245 x$
							-	$490 x$	+	$686$
							-	$490 x$	+	$686$

Этап 6.2.21.2.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 490 x + 686$ .

				$25 x^{2}$	+	$35 x$	-	$98$
$5 x$	-	$7$		$125 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$735 x$	+	$686$
			-	$125 x^{3}$	+	$175 x^{2}$
					+	$175 x^{2}$	-	$735 x$
					-	$175 x^{2}$	+	$245 x$
							-	$490 x$	+	$686$
							+	$490 x$	-	$686$

Этап 6.2.21.2.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$25 x^{2}$	+	$35 x$	-	$98$
$5 x$	-	$7$		$125 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$735 x$	+	$686$
			-	$125 x^{3}$	+	$175 x^{2}$
					+	$175 x^{2}$	-	$735 x$
					-	$175 x^{2}$	+	$245 x$
							-	$490 x$	+	$686$
							+	$490 x$	-	$686$
										$0$

Этап 6.2.21.2.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$25 x^{2} + 35 x - 98$

Этап 6.2.21.2.6

Запишем $125 x^{3} - 735 x + 686$ в виде набора множителей.

$\frac{4 x ((5 x - 7) (25 x^{2} + 35 x - 98))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 6.2.21.3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.21.3.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 25 \cdot - 98 = - 2450$ , а сумма — $b = 35$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.21.3.1.1

Вынесем множитель $35$ из $35 x$ .

$\frac{4 x ((5 x - 7) (25 x^{2} + 35 (x) - 98))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 6.2.21.3.1.2

Запишем $35$ как $- 35$ плюс $70$

$\frac{4 x ((5 x - 7) (25 x^{2} + (- 35 + 70) x - 98))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 6.2.21.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 x ((5 x - 7) (25 x^{2} - 35 x + 70 x - 98))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 6.2.21.3.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.21.3.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{4 x ((5 x - 7) ((25 x^{2} - 35 x) + 70 x - 98))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 6.2.21.3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{4 x ((5 x - 7) (5 x (5 x - 7) + 14 (5 x - 7)))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 6.2.21.3.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $5 x - 7$ .

$\frac{4 x ((5 x - 7) ((5 x - 7) (5 x + 14)))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

$\frac{4 x ((5 x - 7) (5 x - 7) (5 x + 14))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 6.2.21.4

Объединим подобные множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.21.4.1

Возведем $5 x - 7$ в степень $1$ .

$\frac{4 x ({(5 x - 7)}^{1} (5 x - 7) (5 x + 14))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 6.2.21.4.2

Возведем $5 x - 7$ в степень $1$ .

$\frac{4 x ({(5 x - 7)}^{1} {(5 x - 7)}^{1} (5 x + 14))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 6.2.21.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4 x ({(5 x - 7)}^{1 + 1} (5 x + 14))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 6.2.21.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{4 x ({(5 x - 7)}^{2} (5 x + 14))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

$\frac{4 x {(5 x - 7)}^{2} (5 x + 14)}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 6.3

Сократим общий множитель ${(5 x - 7)}^{2}$ и ${(7 - 5 x)}^{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Вынесем множитель $- 1$ из $5 x$ .

$\frac{4 x {(- (- 5 x) - 7)}^{2} (5 x + 14)}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 6.3.2

Перепишем $- 7$ в виде $- 1 (7)$ .

$\frac{4 x {(- (- 5 x) - 1 (7))}^{2} (5 x + 14)}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 6.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (- 5 x) - 1 (7)$ .

$\frac{4 x {(- (- 5 x + 7))}^{2} (5 x + 14)}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 6.3.4

Перепишем $- (- 5 x + 7)$ в виде $- 1 (- 5 x + 7)$ .

$\frac{4 x {(- 1 (- 5 x + 7))}^{2} (5 x + 14)}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 6.3.5

Применим правило умножения к $- 1 (- 5 x + 7)$ .

$\frac{4 x ({(- 1)}^{2} {(- 5 x + 7)}^{2}) (5 x + 14)}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 6.3.6

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{4 x (1 {(- 5 x + 7)}^{2}) (5 x + 14)}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 6.3.7

Умножим ${(- 5 x + 7)}^{2}$ на $1$ .

$\frac{4 x {(- 5 x + 7)}^{2} (5 x + 14)}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Этап 6.3.8

Изменим порядок членов.

$\frac{4 x {(- 5 x + 7)}^{2} (5 x + 14)}{{(- 5 x + 7)}^{6}}$

Этап 6.3.9

Вынесем множитель ${(- 5 x + 7)}^{2}$ из $4 x {(- 5 x + 7)}^{2} (5 x + 14)$ .

$\frac{{(- 5 x + 7)}^{2} (4 x (5 x + 14))}{{(- 5 x + 7)}^{6}}$

Этап 6.3.10

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.10.1

Вынесем множитель ${(- 5 x + 7)}^{2}$ из ${(- 5 x + 7)}^{6}$ .

$\frac{{(- 5 x + 7)}^{2} (4 x (5 x + 14))}{{(- 5 x + 7)}^{2} {(- 5 x + 7)}^{4}}$

Этап 6.3.10.2

Сократим общий множитель.

$\frac{{(- 5 x + 7)}^{2} (4 x (5 x + 14))}{{(- 5 x + 7)}^{2} {(- 5 x + 7)}^{4}}$

Этап 6.3.10.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4 x (5 x + 14)}{{(- 5 x + 7)}^{4}}$