Математический анализ Примеры

$y = (\sqrt{2 x + 5}) \tan (x^{2} + 5 x)$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 x + 5}$ в виде ${(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \tan (x^{2} + 5 x)]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = \tan (x^{2} + 5 x)$ .

${(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\tan (x^{2} + 5 x)] + \tan (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \tan (x)$ и $g (x) = x^{2} + 5 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x^{2} + 5 x$ .

${(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]) + \tan (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.2

Производная $\tan (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\sec^{2} (u_{1})$ .

${(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}} (\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]) + \tan (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x^{2} + 5 x$ .

${(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}} (\sec^{2} (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]) + \tan (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

По правилу суммы производная $x^{2} + 5 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

${(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]) + \tan (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

${(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) (2 x + \frac{d}{d x} [5 x]) + \tan (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.3

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

${(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) (2 x + 5 \frac{d}{d x} [x]) + \tan (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

${(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) (2 x + 5 \cdot 1) + \tan (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.5

Умножим $5$ на $1$ .

${(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) (2 x + 5) + \tan (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 5

Возведем $2 x + 5$ в степень $1$ .

${(2 x + 5)}^{1} {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${(2 x + 5)}^{1 + \frac{1}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

${(2 x + 5)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 7.2

Объединим числители над общим знаменателем.

${(2 x + 5)}^{\frac{2 + 1}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 7.3

Добавим $2$ и $1$ .

${(2 x + 5)}^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 8

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $2 x + 5$ .

${(2 x + 5)}^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 x + 5])$

Этап 8.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

${(2 x + 5)}^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x) (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x + 5])$

Этап 8.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 x + 5$ .

${(2 x + 5)}^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x) (\frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x + 5])$

Этап 9

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

${(2 x + 5)}^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x) (\frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5])$

Этап 10

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

${(2 x + 5)}^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x) (\frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5])$

Этап 11

Объединим числители над общим знаменателем.

${(2 x + 5)}^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x) (\frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5])$

Этап 12

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

${(2 x + 5)}^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x) (\frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5])$

Этап 12.2

Вычтем $2$ из $1$ .

${(2 x + 5)}^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x) (\frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5])$

Этап 13

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

${(2 x + 5)}^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x) (\frac{1}{2} {(2 x + 5)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5])$

Этап 13.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(2 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ .

${(2 x + 5)}^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x) (\frac{{(2 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 x + 5])$

Этап 13.3

Перенесем ${(2 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

${(2 x + 5)}^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x) (\frac{1}{2 {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x + 5])$

Этап 13.4

Объединим $\frac{1}{2 {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ и $\tan (x^{2} + 5 x)$ .

${(2 x + 5)}^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \frac{\tan (x^{2} + 5 x)}{2 {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Этап 14

По правилу суммы производная $2 x + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

${(2 x + 5)}^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \frac{\tan (x^{2} + 5 x)}{2 {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5])$

Этап 15

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

${(2 x + 5)}^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \frac{\tan (x^{2} + 5 x)}{2 {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Этап 16

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

${(2 x + 5)}^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \frac{\tan (x^{2} + 5 x)}{2 {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])$

Этап 17

Умножим $2$ на $1$ .

${(2 x + 5)}^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \frac{\tan (x^{2} + 5 x)}{2 {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (2 + \frac{d}{d x} [5])$

Этап 18

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

${(2 x + 5)}^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \frac{\tan (x^{2} + 5 x)}{2 {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (2 + 0)$

Этап 19

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Добавим $2$ и $0$ .

${(2 x + 5)}^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \frac{\tan (x^{2} + 5 x)}{2 {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 2$

Этап 19.2

Объединим $\frac{\tan (x^{2} + 5 x)}{2 {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ и $2$ .

${(2 x + 5)}^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \frac{\tan (x^{2} + 5 x) \cdot 2}{2 {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 19.3

Перенесем $2$ влево от $\tan (x^{2} + 5 x)$ .

${(2 x + 5)}^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \frac{2 \cdot \tan (x^{2} + 5 x)}{2 {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 19.4

Сократим общий множитель.

${(2 x + 5)}^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \frac{2 \tan (x^{2} + 5 x)}{2 {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 19.5

Перепишем это выражение.

${(2 x + 5)}^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \frac{\tan (x^{2} + 5 x)}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 20

Чтобы записать ${(2 x + 5)}^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(2 x + 5)}^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{\tan (x^{2} + 5 x)}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 21

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{{(2 x + 5)}^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) {(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}} + \tan (x^{2} + 5 x)}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 22

Умножим ${(2 x + 5)}^{\frac{3}{2}}$ на ${(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.1

Перенесем ${(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(2 x + 5)}^{\frac{3}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x)}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 22.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x)}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 22.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{{(2 x + 5)}^{\frac{1 + 3}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x)}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 22.4

Добавим $1$ и $3$ .

$\frac{{(2 x + 5)}^{\frac{4}{2}} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x)}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 22.5

Разделим $4$ на $2$ .

$\frac{{(2 x + 5)}^{2} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x)}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 23

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.1

Перепишем ${(2 x + 5)}^{2}$ в виде $(2 x + 5) (2 x + 5)$ .

$\frac{(2 x + 5) (2 x + 5) \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x)}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 23.2

Развернем $(2 x + 5) (2 x + 5)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 x (2 x + 5) + 5 (2 x + 5)) \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x)}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 23.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 x (2 x) + 2 x \cdot 5 + 5 (2 x + 5)) \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x)}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 23.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 x (2 x) + 2 x \cdot 5 + 5 (2 x) + 5 \cdot 5) \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x)}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 23.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{(2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot 5 + 5 (2 x) + 5 \cdot 5) \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x)}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 23.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{(2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 5 + 5 (2 x) + 5 \cdot 5) \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x)}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 23.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{(2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot 5 + 5 (2 x) + 5 \cdot 5) \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x)}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 23.3.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{(4 x^{2} + 2 x \cdot 5 + 5 (2 x) + 5 \cdot 5) \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x)}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 23.3.1.4

Умножим $5$ на $2$ .

$\frac{(4 x^{2} + 10 x + 5 (2 x) + 5 \cdot 5) \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x)}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 23.3.1.5

Умножим $2$ на $5$ .

$\frac{(4 x^{2} + 10 x + 10 x + 5 \cdot 5) \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x)}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 23.3.1.6

Умножим $5$ на $5$ .

$\frac{(4 x^{2} + 10 x + 10 x + 25) \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x)}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 23.3.2

Добавим $10 x$ и $10 x$ .

$\frac{(4 x^{2} + 20 x + 25) \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x)}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 23.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 x^{2} \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + 20 x \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + 25 \sec^{2} (x^{2} + 5 x) + \tan (x^{2} + 5 x)}{{(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$