Математический анализ Примеры

$\tan^{-1} (x^{2} y)$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \tan^{-1} (x)$ и $g (x) = x^{2} y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} y$ .

$\frac{d}{d u} [\tan^{-1} (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Этап 1.2

Производная $\tan^{-1} (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} y$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} y)}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $x^{2} y$ по $x$ равна $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} y)}^{2}} (y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} y)}^{2}} (y (2 x))$

Этап 2.3

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перенесем $2$ влево от $y$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} y)}^{2}} (2 \cdot y x)$

Этап 2.3.2

Изменим порядок множителей в $2 y x$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2} y)}^{2}} (2 x y)$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим правило умножения к $x^{2} y$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2})}^{2} y^{2}} (2 x y)$

Этап 3.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2 \cdot 2} y^{2}} (2 x y)$

Этап 3.2.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{1 + x^{4} y^{2}} (2 x y)$

Этап 3.2.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{1 + x^{4} y^{2}}$ .

$\frac{2}{1 + x^{4} y^{2}} (x y)$

Этап 3.2.3

Объединим $x$ и $\frac{2}{1 + x^{4} y^{2}}$ .

$\frac{x \cdot 2}{1 + x^{4} y^{2}} y$

Этап 3.2.4

Объединим $\frac{x \cdot 2}{1 + x^{4} y^{2}}$ и $y$ .

$\frac{x \cdot 2 y}{1 + x^{4} y^{2}}$

Этап 3.2.5

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\frac{2 x y}{1 + x^{4} y^{2}}$

Этап 3.3

Изменим порядок членов.

$\frac{2 x y}{x^{4} y^{2} + 1}$