Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{\sqrt{x}} t^{2} d t$

Этап 1

Эту производную не удалось вычислить с помощью цепного правила. Mathway использует другой способ.

Этап 2

Возьмем производную от $\int_{0}^{\sqrt{x}} t^{2} d t$ по $x$ , используя основную теорему математического анализа и цепное правило.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] {\sqrt{x}}^{2}$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] {\sqrt{x}}^{2}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} {\sqrt{x}}^{2}$

Этап 4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} {\sqrt{x}}^{2}$

Этап 5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} {\sqrt{x}}^{2}$

Этап 6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} {\sqrt{x}}^{2}$

Этап 7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} {\sqrt{x}}^{2}$

Этап 7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} {\sqrt{x}}^{2}$

Этап 8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} {\sqrt{x}}^{2}$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} {\sqrt{x}}^{2}$

Этап 9.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} {\sqrt{x}}^{2}$

Этап 10

Перепишем ${\sqrt{x}}^{2}$ в виде $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 10.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 10.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{2}{2}}$

Этап 10.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{2}{2}}$

Этап 10.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} x^{1}$

Этап 10.5

Упростим.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} x$

Этап 11

Объединим $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$\frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 12

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Этап 13

Умножим $x$ на $x^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Умножим $x$ на $x^{- \frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Этап 13.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2}$

Этап 13.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2}$

Этап 13.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2}$

Этап 13.4

Вычтем $1$ из $2$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}$