Математический анализ Примеры

$\frac{d^{2}}{d x^{2}} (3 \csc (x))$

Этап 1

Эту производную не удалось вычислить с помощью цепного правила. Mathway использует другой способ.

Этап 2

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 \csc (x)$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [\csc (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Этап 2.2

Производная $\csc (x)$ по $x$ равна $- \csc (x) \cot (x)$ .

$3 (- \csc (x) \cot (x))$

Этап 2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 3 (\csc (x) \cot (x))$

Этап 2.3.2

Изменим порядок множителей в $- 3 \csc (x) \cot (x)$ .

$f' (x) = - 3 \cot (x) \csc (x)$

Этап 3

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 \cot (x) \csc (x)$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [\cot (x) \csc (x)]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [\cot (x) \csc (x)]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \cot (x)$ и $g (x) = \csc (x)$ .

$- 3 (\cot (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)] + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Этап 3.3

Производная $\csc (x)$ по $x$ равна $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- 3 (\cot (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Этап 3.4

Возведем $\cot (x)$ в степень $1$ .

$- 3 (- \csc (x) (\cot^{1} (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Этап 3.5

Возведем $\cot (x)$ в степень $1$ .

$- 3 (- \csc (x) (\cot^{1} (x) \cot^{1} (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Этап 3.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 3 (- \csc (x) {\cot (x)}^{1 + 1} + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Этап 3.7

Добавим $1$ и $1$ .

$- 3 (- \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Этап 3.8

Производная $\cot (x)$ по $x$ равна $- \csc^{2} (x)$ .

$- 3 (- \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc (x) (- \csc^{2} (x)))$

Этап 3.9

Возведем $\csc (x)$ в степень $1$ .

$- 3 (- \csc (x) \cot^{2} (x) - (\csc^{1} (x) \csc^{2} (x)))$

Этап 3.10

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 3 (- \csc (x) \cot^{2} (x) - {\csc (x)}^{1 + 2})$

Этап 3.11

Добавим $1$ и $2$ .

$- 3 (- \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x))$

Этап 3.12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 3 (- \csc (x) \cot^{2} (x)) - 3 (- \csc^{3} (x))$

Этап 3.12.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.2.1

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$3 (\csc (x) \cot^{2} (x)) - 3 (- \csc^{3} (x))$

Этап 3.12.2.2

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$3 \csc (x) \cot^{2} (x) + 3 \csc^{3} (x)$

Этап 3.12.3

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = 3 \cot^{2} (x) \csc (x) + 3 \csc^{3} (x)$