Математический анализ Примеры

${(\csc (7 x - 1))}^{\frac{2}{3}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ и $g (x) = \csc (7 x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\csc (7 x - 1)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [\csc (7 x - 1)]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\csc (7 x - 1)]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\csc (7 x - 1)$ .

$\frac{2}{3} {\csc (7 x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\csc (7 x - 1)]$

Этап 2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $7 x - 1$ .

$\frac{2}{3} {\csc (7 x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [7 x - 1])$

Этап 2.2

Производная $\csc (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ .

$\frac{2}{3} {\csc (7 x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [7 x - 1])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $7 x - 1$ .

$\frac{2}{3} {\csc (7 x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (- \csc (7 x - 1) \cot (7 x - 1) \frac{d}{d x} [7 x - 1])$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $7 x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2}{3} {\csc (7 x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (- \csc (7 x - 1) \cot (7 x - 1) (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]))$

Этап 3.2

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{3} {\csc (7 x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (- \csc (7 x - 1) \cot (7 x - 1) (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]))$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{2}{3} {\csc (7 x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (- \csc (7 x - 1) \cot (7 x - 1) (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]))$

Этап 3.4

Умножим $7$ на $1$ .

$\frac{2}{3} {\csc (7 x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (- \csc (7 x - 1) \cot (7 x - 1) (7 + \frac{d}{d x} [- 1]))$

Этап 3.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{2}{3} {\csc (7 x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (- \csc (7 x - 1) \cot (7 x - 1) (7 + 0))$

Этап 3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Добавим $7$ и $0$ .

$\frac{2}{3} {\csc (7 x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (- \csc (7 x - 1) \cot (7 x - 1) \cdot 7)$

Этап 3.6.2

Умножим $7$ на $- 1$ .

$\frac{2}{3} {\csc (7 x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (- 7 \csc (7 x - 1) \cot (7 x - 1))$

Этап 3.6.3

Изменим порядок множителей в $- 7 \csc (7 x - 1) \cot (7 x - 1)$ .

$\frac{2}{3} {\csc (7 x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (- 7 \cot (7 x - 1) \csc (7 x - 1))$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {\csc (7 x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (- 7 \cot (7 x - 1) \csc (7 x - 1))$

Этап 4.1.2

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {\csc (7 x - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (- 7 \cot (7 x - 1) \csc (7 x - 1))$

Этап 4.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2}{3} {\csc (7 x - 1)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} (- 7 \cot (7 x - 1) \csc (7 x - 1))$

Этап 4.1.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{2}{3} {\csc (7 x - 1)}^{\frac{2 - 3}{3}} (- 7 \cot (7 x - 1) \csc (7 x - 1))$

Этап 4.1.4.2

Вычтем $3$ из $2$ .

$\frac{2}{3} {\csc (7 x - 1)}^{\frac{- 1}{3}} (- 7 \cot (7 x - 1) \csc (7 x - 1))$

Этап 4.1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{2}{3} {\csc (7 x - 1)}^{- \frac{1}{3}} (- 7 \cot (7 x - 1) \csc (7 x - 1))$

Этап 4.1.6

Объединим $\frac{2}{3}$ и ${\csc (7 x - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 {\csc (7 x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} (- 7 \cot (7 x - 1) \csc (7 x - 1))$

Этап 4.1.7

Объединим $- 7$ и $\frac{2 {\csc (7 x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{- 7 (2 {\csc (7 x - 1)}^{- \frac{1}{3}})}{3} (\cot (7 x - 1) \csc (7 x - 1))$

Этап 4.1.8

Умножим $2$ на $- 7$ .

$\frac{- 14 {\csc (7 x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} (\cot (7 x - 1) \csc (7 x - 1))$

Этап 4.1.9

Объединим $\cot (7 x - 1)$ и $\frac{- 14 {\csc (7 x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{\cot (7 x - 1) (- 14 {\csc (7 x - 1)}^{- \frac{1}{3}})}{3} \csc (7 x - 1)$

Этап 4.1.10

Объединим $\frac{\cot (7 x - 1) (- 14 {\csc (7 x - 1)}^{- \frac{1}{3}})}{3}$ и $\csc (7 x - 1)$ .

$\frac{\cot (7 x - 1) (- 14 {\csc (7 x - 1)}^{- \frac{1}{3}}) \csc (7 x - 1)}{3}$

Этап 4.1.11

Возведем $\csc (7 x - 1)$ в степень $1$ .

$\frac{\cot (7 x - 1) (- 14 (\csc^{1} (7 x - 1) {\csc (7 x - 1)}^{- \frac{1}{3}}))}{3}$

Этап 4.1.12

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\cot (7 x - 1) (- 14 {\csc (7 x - 1)}^{1 - \frac{1}{3}})}{3}$

Этап 4.1.13

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{\cot (7 x - 1) (- 14 {\csc (7 x - 1)}^{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}})}{3}$

Этап 4.1.14

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\cot (7 x - 1) (- 14 {\csc (7 x - 1)}^{\frac{3 - 1}{3}})}{3}$

Этап 4.1.15

Вычтем $1$ из $3$ .

$\frac{\cot (7 x - 1) (- 14 {\csc (7 x - 1)}^{\frac{2}{3}})}{3}$

Этап 4.1.16

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{\cot (7 x - 1) \cdot 14 {\csc (7 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}{3}$

Этап 4.1.17

Перенесем $14$ влево от $\cot (7 x - 1)$ .

$- \frac{14 \cot (7 x - 1) {\csc (7 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}{3}$

Этап 4.2

Изменим порядок множителей в $- \frac{14 \cot (7 x - 1) {\csc (7 x - 1)}^{\frac{2}{3}}}{3}$ .

$- \frac{14 {\csc (7 x - 1)}^{\frac{2}{3}} \cot (7 x - 1)}{3}$