Математический анализ Примеры

${(\frac{2 x - 7}{7 x + 3})}^{5}$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{5}$ и $g (x) = \frac{2 x - 7}{7 x + 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{2 x - 7}{7 x + 3}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 7}{7 x + 3}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$5 u^{4} \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 7}{7 x + 3}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{2 x - 7}{7 x + 3}$ .

$5 {(\frac{2 x - 7}{7 x + 3})}^{4} \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 7}{7 x + 3}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 2 x - 7$ и $g (x) = 7 x + 3$ .

$5 {(\frac{2 x - 7}{7 x + 3})}^{4} \frac{(7 x + 3) \frac{d}{d x} [2 x - 7] - (2 x - 7) \frac{d}{d x} [7 x + 3]}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $2 x - 7$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$5 {(\frac{2 x - 7}{7 x + 3})}^{4} \frac{(7 x + 3) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (2 x - 7) \frac{d}{d x} [7 x + 3]}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Этап 3.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 {(\frac{2 x - 7}{7 x + 3})}^{4} \frac{(7 x + 3) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (2 x - 7) \frac{d}{d x} [7 x + 3]}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 {(\frac{2 x - 7}{7 x + 3})}^{4} \frac{(7 x + 3) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]) - (2 x - 7) \frac{d}{d x} [7 x + 3]}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Этап 3.4

Умножим $2$ на $1$ .

$5 {(\frac{2 x - 7}{7 x + 3})}^{4} \frac{(7 x + 3) (2 + \frac{d}{d x} [- 7]) - (2 x - 7) \frac{d}{d x} [7 x + 3]}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Этап 3.5

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7$ относительно $x$ равна $0$ .

$5 {(\frac{2 x - 7}{7 x + 3})}^{4} \frac{(7 x + 3) (2 + 0) - (2 x - 7) \frac{d}{d x} [7 x + 3]}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Этап 3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Добавим $2$ и $0$ .

$5 {(\frac{2 x - 7}{7 x + 3})}^{4} \frac{(7 x + 3) \cdot 2 - (2 x - 7) \frac{d}{d x} [7 x + 3]}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Этап 3.6.2

Перенесем $2$ влево от $7 x + 3$ .

$5 {(\frac{2 x - 7}{7 x + 3})}^{4} \frac{2 \cdot (7 x + 3) - (2 x - 7) \frac{d}{d x} [7 x + 3]}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Этап 3.7

По правилу суммы производная $7 x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$5 {(\frac{2 x - 7}{7 x + 3})}^{4} \frac{2 (7 x + 3) - (2 x - 7) (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Этап 3.8

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 {(\frac{2 x - 7}{7 x + 3})}^{4} \frac{2 (7 x + 3) - (2 x - 7) (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Этап 3.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 {(\frac{2 x - 7}{7 x + 3})}^{4} \frac{2 (7 x + 3) - (2 x - 7) (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Этап 3.10

Умножим $7$ на $1$ .

$5 {(\frac{2 x - 7}{7 x + 3})}^{4} \frac{2 (7 x + 3) - (2 x - 7) (7 + \frac{d}{d x} [3])}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Этап 3.11

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$5 {(\frac{2 x - 7}{7 x + 3})}^{4} \frac{2 (7 x + 3) - (2 x - 7) (7 + 0)}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Этап 3.12

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.1

Добавим $7$ и $0$ .

$5 {(\frac{2 x - 7}{7 x + 3})}^{4} \frac{2 (7 x + 3) - (2 x - 7) \cdot 7}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Этап 3.12.2

Умножим $7$ на $- 1$ .

$5 {(\frac{2 x - 7}{7 x + 3})}^{4} \frac{2 (7 x + 3) - 7 (2 x - 7)}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 {(\frac{2 x - 7}{7 x + 3})}^{4} \frac{2 (7 x) + 2 \cdot 3 - 7 (2 x - 7)}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Этап 4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$5 {(\frac{2 x - 7}{7 x + 3})}^{4} \frac{2 (7 x) + 2 \cdot 3 - 7 (2 x) - 7 \cdot - 7}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Этап 4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Умножим $7$ на $2$ .

$5 {(\frac{2 x - 7}{7 x + 3})}^{4} \frac{14 x + 2 \cdot 3 - 7 (2 x) - 7 \cdot - 7}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Этап 4.3.1.2

Умножим $2$ на $3$ .

$5 {(\frac{2 x - 7}{7 x + 3})}^{4} \frac{14 x + 6 - 7 (2 x) - 7 \cdot - 7}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Этап 4.3.1.3

Умножим $2$ на $- 7$ .

$5 {(\frac{2 x - 7}{7 x + 3})}^{4} \frac{14 x + 6 - 14 x - 7 \cdot - 7}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Этап 4.3.1.4

Умножим $- 7$ на $- 7$ .

$5 {(\frac{2 x - 7}{7 x + 3})}^{4} \frac{14 x + 6 - 14 x + 49}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Этап 4.3.2

Объединим противоположные члены в $14 x + 6 - 14 x + 49$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Вычтем $14 x$ из $14 x$ .

$5 {(\frac{2 x - 7}{7 x + 3})}^{4} \frac{0 + 6 + 49}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Этап 4.3.2.2

Добавим $0$ и $6$ .

$5 {(\frac{2 x - 7}{7 x + 3})}^{4} \frac{6 + 49}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Этап 4.3.3

Добавим $6$ и $49$ .

$5 {(\frac{2 x - 7}{7 x + 3})}^{4} \frac{55}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим правило умножения к $\frac{2 x - 7}{7 x + 3}$ .

$5 \frac{{(2 x - 7)}^{4}}{{(7 x + 3)}^{4}} \frac{55}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Этап 5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Объединим $5$ и $\frac{{(2 x - 7)}^{4}}{{(7 x + 3)}^{4}}$ .

$\frac{5 {(2 x - 7)}^{4}}{{(7 x + 3)}^{4}} \cdot \frac{55}{{(7 x + 3)}^{2}}$

Этап 5.2.2

Умножим $\frac{5 {(2 x - 7)}^{4}}{{(7 x + 3)}^{4}}$ на $\frac{55}{{(7 x + 3)}^{2}}$ .

$\frac{5 {(2 x - 7)}^{4} \cdot 55}{{(7 x + 3)}^{4} {(7 x + 3)}^{2}}$

Этап 5.2.3

Умножим $55$ на $5$ .

$\frac{275 {(2 x - 7)}^{4}}{{(7 x + 3)}^{4} {(7 x + 3)}^{2}}$

Этап 5.2.4

Умножим ${(7 x + 3)}^{4}$ на ${(7 x + 3)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{275 {(2 x - 7)}^{4}}{{(7 x + 3)}^{4 + 2}}$

Этап 5.2.4.2

Добавим $4$ и $2$ .

$\frac{275 {(2 x - 7)}^{4}}{{(7 x + 3)}^{6}}$