Математический анализ Примеры

$u = \sqrt[7]{t^{2}} + 2 \sqrt{t^{5}}$

Этап 1

Эту производную не удалось вычислить с помощью цепного правила. Mathway использует другой способ.

Этап 2

Перепишем $t^{5}$ в виде ${(t^{2})}^{2} t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем $t^{4}$ за скобки.

$\frac{d}{d u} [\sqrt[7]{t^{2}} + 2 \sqrt{t^{4} t}]$

Этап 2.2

Перепишем $t^{4}$ в виде ${(t^{2})}^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\sqrt[7]{t^{2}} + 2 \sqrt{{(t^{2})}^{2} t}]$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{d}{d u} [\sqrt[7]{t^{2}} + 2 (t^{2} \sqrt{t})]$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $\sqrt[7]{t^{2}} + 2 (t^{2} \sqrt{t})$ по $u$ имеет вид $\frac{d}{d u} [\sqrt[7]{t^{2}}] + \frac{d}{d u} [2 (t^{2} \sqrt{t})]$ .

$\frac{d}{d u} [\sqrt[7]{t^{2}}] + \frac{d}{d u} [2 (t^{2} \sqrt{t})]$

Этап 3.3

Поскольку $\sqrt[7]{t^{2}}$ является константой относительно $u$ , производная $\sqrt[7]{t^{2}}$ относительно $u$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d u} [2 (t^{2} \sqrt{t})]$

Этап 4

Найдем значение $\frac{d}{d u} [2 (t^{2} \sqrt{t})]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{t}$ в виде $t^{\frac{1}{2}}$ .

$0 + \frac{d}{d u} [2 (t^{2} t^{\frac{1}{2}})]$

Этап 4.2

Умножим $t^{2}$ на $t^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$0 + \frac{d}{d u} [2 t^{2 + \frac{1}{2}}]$

Этап 4.2.2

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$0 + \frac{d}{d u} [2 t^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}]$

Этап 4.2.3

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$0 + \frac{d}{d u} [2 t^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}]$

Этап 4.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$0 + \frac{d}{d u} [2 t^{\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}}]$

Этап 4.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Умножим $2$ на $2$ .

$0 + \frac{d}{d u} [2 t^{\frac{4 + 1}{2}}]$

Этап 4.2.5.2

Добавим $4$ и $1$ .

$0 + \frac{d}{d u} [2 t^{\frac{5}{2}}]$

Этап 4.3

Поскольку $2 t^{\frac{5}{2}}$ является константой относительно $u$ , производная $2 t^{\frac{5}{2}}$ относительно $u$ равна $0$ .

$0 + 0$

Этап 5

Добавим $0$ и $0$ .

$0$