Математический анализ Примеры

$y = \tan^{-1} (\sqrt{4 t})$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = \tan^{-1} (t)$ и $g (t) = \sqrt{4 t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\sqrt{4 t}$ .

$\frac{d}{d u} [\tan^{-1} (u)] \frac{d}{d t} [\sqrt{4 t}]$

Этап 1.2

Производная $\tan^{-1} (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d t} [\sqrt{4 t}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\sqrt{4 t}$ .

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} \frac{d}{d t} [\sqrt{4 t}]$

Этап 2

Перепишем $\frac{d}{d t} [\sqrt{4 t}]$ в виде $\frac{d}{d t} [2 \sqrt{t}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} \frac{d}{d t} [\sqrt{2^{2} t}]$

Этап 2.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} \frac{d}{d t} [2 \sqrt{t}]$

Этап 3

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{t}$ в виде $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} \frac{d}{d t} [2 t^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4

Поскольку $2$ является константой относительно $t$ , производная $2 t^{\frac{1}{2}}$ по $t$ равна $2 \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} (2 \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}])$

Этап 5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} (2 (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1}))$

Этап 6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} (2 (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Этап 7

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} (2 (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Этап 8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} (2 (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Этап 9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} (2 (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Этап 9.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} (2 (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}}))$

Этап 10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} (2 (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}}))$

Этап 11

Объединим $\frac{1}{2}$ и $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} (2 \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Этап 12

Объединим $2$ и $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} \cdot \frac{2 t^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Этап 13

Перенесем $t^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} \cdot \frac{2}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Этап 14

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} \cdot \frac{2}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Этап 15

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

Этап 16

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1.1

Перепишем $\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ в виде $\frac{1}{1 + {(2 \sqrt{t})}^{2}} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1.1.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{1}{1 + {\sqrt{2^{2} t}}^{2}} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

Этап 16.1.1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{1}{1 + {(2 \sqrt{t})}^{2}} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

Этап 16.1.2

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt{t}$ .

$\frac{1}{1 + {(2 (\sqrt{t}))}^{2}} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

Этап 16.1.3

Применим правило умножения к $2 (\sqrt{t})$ .

$\frac{1}{1 + 2^{2} {\sqrt{t}}^{2}} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

Этап 16.1.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{1}{1 + 4 {\sqrt{t}}^{2}} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

Этап 16.1.5

Перепишем ${\sqrt{t}}^{2}$ в виде $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{t}$ в виде $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{1 + 4 {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

Этап 16.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + 4 t^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

Этап 16.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{1}{1 + 4 t^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

Этап 16.1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{1 + 4 t^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

Этап 16.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{1 + 4 t^{1}} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

Этап 16.1.5.5

Упростим.

$\frac{1}{1 + 4 t} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

Этап 16.1.6

Умножим $\frac{1}{1 + 4 t}$ на $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{(1 + 4 t) t^{\frac{1}{2}}}$

Этап 16.2

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}} (1 + 4 t)}$