Математический анализ Примеры

$u = \sqrt[7]{t^{2}} + 2 \sqrt{t^{5}}$

Этап 1

Эту производную не удалось вычислить с помощью цепного правила. Mathway использует другой способ.

Этап 2

По правилу суммы производная $\sqrt[7]{t^{2}} + 2 \sqrt{t^{5}}$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [\sqrt[7]{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [2 \sqrt{t^{5}}]$ .

$\frac{d}{d t} [\sqrt[7]{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [2 \sqrt{t^{5}}]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d t} [\sqrt[7]{t^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[7]{t^{2}}$ в виде $t^{\frac{2}{7}}$ .

$\frac{d}{d t} [t^{\frac{2}{7}}] + \frac{d}{d t} [2 \sqrt{t^{5}}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = \frac{2}{7}$ .

$\frac{2}{7} t^{\frac{2}{7} - 1} + \frac{d}{d t} [2 \sqrt{t^{5}}]$

Этап 3.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{7}{7}$ .

$\frac{2}{7} t^{\frac{2}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}} + \frac{d}{d t} [2 \sqrt{t^{5}}]$

Этап 3.4

Объединим $- 1$ и $\frac{7}{7}$ .

$\frac{2}{7} t^{\frac{2}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}} + \frac{d}{d t} [2 \sqrt{t^{5}}]$

Этап 3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2}{7} t^{\frac{2 - 1 \cdot 7}{7}} + \frac{d}{d t} [2 \sqrt{t^{5}}]$

Этап 3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Умножим $- 1$ на $7$ .

$\frac{2}{7} t^{\frac{2 - 7}{7}} + \frac{d}{d t} [2 \sqrt{t^{5}}]$

Этап 3.6.2

Вычтем $7$ из $2$ .

$\frac{2}{7} t^{\frac{- 5}{7}} + \frac{d}{d t} [2 \sqrt{t^{5}}]$

Этап 3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{2}{7} t^{- \frac{5}{7}} + \frac{d}{d t} [2 \sqrt{t^{5}}]$

Этап 4

Найдем значение $\frac{d}{d t} [2 \sqrt{t^{5}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{t^{5}}$ в виде $t^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2}{7} t^{- \frac{5}{7}} + \frac{d}{d t} [2 t^{\frac{5}{2}}]$

Этап 4.2

Поскольку $2$ является константой относительно $t$ , производная $2 t^{\frac{5}{2}}$ по $t$ равна $2 \frac{d}{d t} [t^{\frac{5}{2}}]$ .

$\frac{2}{7} t^{- \frac{5}{7}} + 2 \frac{d}{d t} [t^{\frac{5}{2}}]$

Этап 4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = \frac{5}{2}$ .

$\frac{2}{7} t^{- \frac{5}{7}} + 2 (\frac{5}{2} t^{\frac{5}{2} - 1})$

Этап 4.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{7} t^{- \frac{5}{7}} + 2 (\frac{5}{2} t^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Этап 4.5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{7} t^{- \frac{5}{7}} + 2 (\frac{5}{2} t^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 4.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2}{7} t^{- \frac{5}{7}} + 2 (\frac{5}{2} t^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 4.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{2}{7} t^{- \frac{5}{7}} + 2 (\frac{5}{2} t^{\frac{5 - 2}{2}})$

Этап 4.7.2

Вычтем $2$ из $5$ .

$\frac{2}{7} t^{- \frac{5}{7}} + 2 (\frac{5}{2} t^{\frac{3}{2}})$

Этап 4.8

Объединим $\frac{5}{2}$ и $t^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{7} t^{- \frac{5}{7}} + 2 \frac{5 t^{\frac{3}{2}}}{2}$

Этап 4.9

Объединим $2$ и $\frac{5 t^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{2}{7} t^{- \frac{5}{7}} + \frac{2 (5 t^{\frac{3}{2}})}{2}$

Этап 4.10

Умножим $5$ на $2$ .

$\frac{2}{7} t^{- \frac{5}{7}} + \frac{10 t^{\frac{3}{2}}}{2}$

Этап 4.11

Вынесем множитель $2$ из $10 t^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{7} t^{- \frac{5}{7}} + \frac{2 (5 t^{\frac{3}{2}})}{2}$

Этап 4.12

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2}{7} t^{- \frac{5}{7}} + \frac{2 (5 t^{\frac{3}{2}})}{2 (1)}$

Этап 4.12.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{7} t^{- \frac{5}{7}} + \frac{2 (5 t^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 1}$

Этап 4.12.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{7} t^{- \frac{5}{7}} + \frac{5 t^{\frac{3}{2}}}{1}$

Этап 4.12.4

Разделим $5 t^{\frac{3}{2}}$ на $1$ .

$\frac{2}{7} t^{- \frac{5}{7}} + 5 t^{\frac{3}{2}}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{7} \cdot \frac{1}{t^{\frac{5}{7}}} + 5 t^{\frac{3}{2}}$

Этап 5.2

Умножим $\frac{2}{7}$ на $\frac{1}{t^{\frac{5}{7}}}$ .

$\frac{2}{7 t^{\frac{5}{7}}} + 5 t^{\frac{3}{2}}$

Этап 5.3

Изменим порядок членов.

$5 t^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{7 t^{\frac{5}{7}}}$