Математический анализ Примеры

$\frac{d}{d t} (\frac{t^{2} + 8}{{(3 t - 2)}^{6}})$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ имеет вид $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , где $f (t) = t^{2} + 8$ и $g (t) = {(3 t - 2)}^{6}$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{6} \frac{d}{d t} [t^{2} + 8] - (t^{2} + 8) \frac{d}{d t} [{(3 t - 2)}^{6}]}{{({(3 t - 2)}^{6})}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перемножим экспоненты в ${({(3 t - 2)}^{6})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{6} \frac{d}{d t} [t^{2} + 8] - (t^{2} + 8) \frac{d}{d t} [{(3 t - 2)}^{6}]}{{(3 t - 2)}^{6 \cdot 2}}$

Этап 2.1.2

Умножим $6$ на $2$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{6} \frac{d}{d t} [t^{2} + 8] - (t^{2} + 8) \frac{d}{d t} [{(3 t - 2)}^{6}]}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $t^{2} + 8$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [8]$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{6} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [8]) - (t^{2} + 8) \frac{d}{d t} [{(3 t - 2)}^{6}]}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{6} (2 t + \frac{d}{d t} [8]) - (t^{2} + 8) \frac{d}{d t} [{(3 t - 2)}^{6}]}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Этап 2.4

Поскольку $8$ является константой относительно $t$ , производная $8$ относительно $t$ равна $0$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{6} (2 t + 0) - (t^{2} + 8) \frac{d}{d t} [{(3 t - 2)}^{6}]}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Этап 2.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Добавим $2 t$ и $0$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{6} (2 t) - (t^{2} + 8) \frac{d}{d t} [{(3 t - 2)}^{6}]}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Этап 2.5.2

Перенесем $2$ влево от ${(3 t - 2)}^{6}$ .

$\frac{2 \cdot {(3 t - 2)}^{6} t - (t^{2} + 8) \frac{d}{d t} [{(3 t - 2)}^{6}]}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = t^{6}$ и $g (t) = 3 t - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 t - 2$ .

$\frac{2 {(3 t - 2)}^{6} t - (t^{2} + 8) (\frac{d}{d u} [u^{6}] \frac{d}{d t} [3 t - 2])}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 6$ .

$\frac{2 {(3 t - 2)}^{6} t - (t^{2} + 8) (6 u^{5} \frac{d}{d t} [3 t - 2])}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 t - 2$ .

$\frac{2 {(3 t - 2)}^{6} t - (t^{2} + 8) (6 {(3 t - 2)}^{5} \frac{d}{d t} [3 t - 2])}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $6$ на $- 1$ .

$\frac{2 {(3 t - 2)}^{6} t - 6 (t^{2} + 8) ({(3 t - 2)}^{5} \frac{d}{d t} [3 t - 2])}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Этап 4.2

По правилу суммы производная $3 t - 2$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 2]$ .

$\frac{2 {(3 t - 2)}^{6} t - 6 (t^{2} + 8) ({(3 t - 2)}^{5} (\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 2]))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Этап 4.3

Поскольку $3$ является константой относительно $t$ , производная $3 t$ по $t$ равна $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{2 {(3 t - 2)}^{6} t - 6 (t^{2} + 8) ({(3 t - 2)}^{5} (3 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2]))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Этап 4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{2 {(3 t - 2)}^{6} t - 6 (t^{2} + 8) ({(3 t - 2)}^{5} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 2]))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Этап 4.5

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{2 {(3 t - 2)}^{6} t - 6 (t^{2} + 8) ({(3 t - 2)}^{5} (3 + \frac{d}{d t} [- 2]))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Этап 4.6

Поскольку $- 2$ является константой относительно $t$ , производная $- 2$ относительно $t$ равна $0$ .

$\frac{2 {(3 t - 2)}^{6} t - 6 (t^{2} + 8) ({(3 t - 2)}^{5} (3 + 0))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Этап 4.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Добавим $3$ и $0$ .

$\frac{2 {(3 t - 2)}^{6} t - 6 (t^{2} + 8) ({(3 t - 2)}^{5} \cdot 3)}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Этап 4.7.2

Перенесем $3$ влево от ${(3 t - 2)}^{5}$ .

$\frac{2 {(3 t - 2)}^{6} t - 6 (t^{2} + 8) (3 \cdot {(3 t - 2)}^{5})}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Этап 4.7.3

Умножим $3$ на $- 6$ .

$\frac{2 {(3 t - 2)}^{6} t - 18 (t^{2} + 8) {(3 t - 2)}^{5}}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 {(3 t - 2)}^{6} t + (- 18 t^{2} - 18 \cdot 8) {(3 t - 2)}^{5}}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Этап 5.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель ${(3 t - 2)}^{5}$ из $2 {(3 t - 2)}^{6} t + (- 18 t^{2} - 18 \cdot 8) {(3 t - 2)}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Вынесем множитель ${(3 t - 2)}^{5}$ из $2 {(3 t - 2)}^{6} t$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 (3 t - 2) t) + (- 18 t^{2} - 18 \cdot 8) {(3 t - 2)}^{5}}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Этап 5.2.1.2

Вынесем множитель ${(3 t - 2)}^{5}$ из $(- 18 t^{2} - 18 \cdot 8) {(3 t - 2)}^{5}$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 (3 t - 2) t) + {(3 t - 2)}^{5} (- 18 t^{2} - 18 \cdot 8)}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Этап 5.2.1.3

Вынесем множитель ${(3 t - 2)}^{5}$ из ${(3 t - 2)}^{5} (2 (3 t - 2) t) + {(3 t - 2)}^{5} (- 18 t^{2} - 18 \cdot 8)$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 (3 t - 2) t - 18 t^{2} - 18 \cdot 8)}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $2$ из $2 (3 t - 2) t - 18 t^{2} - 18 \cdot 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 (3 t - 2) t$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 ((3 t - 2) t) - 18 t^{2} - 18 \cdot 8)}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Этап 5.2.2.2

Вынесем множитель $2$ из $- 18 t^{2}$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 ((3 t - 2) t) + 2 (- 9 t^{2}) - 18 \cdot 8)}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Этап 5.2.2.3

Вынесем множитель $2$ из $- 18 \cdot 8$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 ((3 t - 2) t) + 2 (- 9 t^{2}) + 2 (- 9 \cdot 8))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Этап 5.2.2.4

Вынесем множитель $2$ из $2 ((3 t - 2) t) + 2 (- 9 t^{2})$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 ((3 t - 2) t - 9 t^{2}) + 2 (- 9 \cdot 8))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Этап 5.2.2.5

Вынесем множитель $2$ из $2 ((3 t - 2) t - 9 t^{2}) + 2 (- 9 \cdot 8)$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 ((3 t - 2) t - 9 t^{2} - 9 \cdot 8))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Этап 5.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 (3 t \cdot t - 2 t - 9 t^{2} - 9 \cdot 8))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Этап 5.2.4

Умножим $t$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Перенесем $t$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 (3 (t \cdot t) - 2 t - 9 t^{2} - 9 \cdot 8))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Этап 5.2.4.2

Умножим $t$ на $t$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 (3 t^{2} - 2 t - 9 t^{2} - 9 \cdot 8))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Этап 5.2.5

Умножим $- 9$ на $8$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 (3 t^{2} - 2 t - 9 t^{2} - 72))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Этап 5.2.6

Вычтем $9 t^{2}$ из $3 t^{2}$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 (- 6 t^{2} - 2 t - 72))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Этап 5.2.7

Вынесем множитель $2$ из $- 6 t^{2} - 2 t - 72$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.1

Вынесем множитель $2$ из $- 6 t^{2}$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 (2 (- 3 t^{2}) - 2 t - 72))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Этап 5.2.7.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2 t$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 (2 (- 3 t^{2}) + 2 (- t) - 72))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Этап 5.2.7.3

Вынесем множитель $2$ из $- 72$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 (2 (- 3 t^{2}) + 2 (- t) + 2 (- 36)))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Этап 5.2.7.4

Вынесем множитель $2$ из $2 (- 3 t^{2}) + 2 (- t)$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 (2 (- 3 t^{2} - t) + 2 (- 36)))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Этап 5.2.7.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (- 3 t^{2} - t) + 2 (- 36)$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 (2 (- 3 t^{2} - t - 36)))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 \cdot 2 (- 3 t^{2} - t - 36))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Этап 5.2.8

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} \cdot 4 (- 3 t^{2} - t - 36)}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Этап 5.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Перенесем $4$ влево от ${(3 t - 2)}^{5}$ .

$\frac{4 \cdot {(3 t - 2)}^{5} (- 3 t^{2} - t - 36)}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Этап 5.3.2

Сократим общий множитель ${(3 t - 2)}^{5}$ и ${(3 t - 2)}^{12}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Вынесем множитель ${(3 t - 2)}^{5}$ из $4 {(3 t - 2)}^{5} (- 3 t^{2} - t - 36)$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (4 (- 3 t^{2} - t - 36))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Этап 5.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Вынесем множитель ${(3 t - 2)}^{5}$ из ${(3 t - 2)}^{12}$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (4 (- 3 t^{2} - t - 36))}{{(3 t - 2)}^{5} {(3 t - 2)}^{7}}$

Этап 5.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (4 (- 3 t^{2} - t - 36))}{{(3 t - 2)}^{5} {(3 t - 2)}^{7}}$

Этап 5.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4 (- 3 t^{2} - t - 36)}{{(3 t - 2)}^{7}}$

Этап 5.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 t^{2}$ .

$\frac{4 (- (3 t^{2}) - t - 36)}{{(3 t - 2)}^{7}}$

Этап 5.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- t$ .

$\frac{4 (- (3 t^{2}) - (t) - 36)}{{(3 t - 2)}^{7}}$

Этап 5.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 t^{2}) - (t)$ .

$\frac{4 (- (3 t^{2} + t) - 36)}{{(3 t - 2)}^{7}}$

Этап 5.7

Перепишем $- 36$ в виде $- 1 (36)$ .

$\frac{4 (- (3 t^{2} + t) - 1 (36))}{{(3 t - 2)}^{7}}$

Этап 5.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 t^{2} + t) - 1 (36)$ .

$\frac{4 (- (3 t^{2} + t + 36))}{{(3 t - 2)}^{7}}$

Этап 5.9

Перепишем $- (3 t^{2} + t + 36)$ в виде $- 1 (3 t^{2} + t + 36)$ .

$\frac{4 (- 1 (3 t^{2} + t + 36))}{{(3 t - 2)}^{7}}$

Этап 5.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{4 (3 t^{2} + t + 36)}{{(3 t - 2)}^{7}}$