Математический анализ Примеры

$y = \sec^{-1} (2 s^{3} + 4)$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d s} [f (g (s))]$ имеет вид $f' (g (s)) g' (s)$ , где $f (s) = \sec^{-1} (s)$ и $g (s) = 2 s^{3} + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 s^{3} + 4$ .

$\frac{d}{d u} [\sec^{-1} (u)] \frac{d}{d s} [2 s^{3} + 4]$

Этап 1.2

Производная $\sec^{-1} (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}}$ .

$\frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}} \frac{d}{d s} [2 s^{3} + 4]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 s^{3} + 4$ .

$\frac{1}{(2 s^{3} + 4) \sqrt{{(2 s^{3} + 4)}^{2} - 1}} \frac{d}{d s} [2 s^{3} + 4]$

Этап 2

По правилу суммы производная $2 s^{3} + 4$ по $s$ имеет вид $\frac{d}{d s} [2 s^{3}] + \frac{d}{d s} [4]$ .

$\frac{1}{(2 s^{3} + 4) \sqrt{{(2 s^{3} + 4)}^{2} - 1}} (\frac{d}{d s} [2 s^{3}] + \frac{d}{d s} [4])$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d s} [2 s^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $s$ , производная $2 s^{3}$ по $s$ равна $2 \frac{d}{d s} [s^{3}]$ .

$\frac{1}{(2 s^{3} + 4) \sqrt{{(2 s^{3} + 4)}^{2} - 1}} (2 \frac{d}{d s} [s^{3}] + \frac{d}{d s} [4])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ имеет вид $n s^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{1}{(2 s^{3} + 4) \sqrt{{(2 s^{3} + 4)}^{2} - 1}} (2 (3 s^{2}) + \frac{d}{d s} [4])$

Этап 3.3

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{1}{(2 s^{3} + 4) \sqrt{{(2 s^{3} + 4)}^{2} - 1}} (6 s^{2} + \frac{d}{d s} [4])$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $4$ является константой относительно $s$ , производная $4$ относительно $s$ равна $0$ .

$\frac{1}{(2 s^{3} + 4) \sqrt{{(2 s^{3} + 4)}^{2} - 1}} (6 s^{2} + 0)$

Этап 4.2

Добавим $6 s^{2}$ и $0$ .

$\frac{1}{(2 s^{3} + 4) \sqrt{{(2 s^{3} + 4)}^{2} - 1}} (6 s^{2})$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Объединим $6$ и $\frac{1}{(2 s^{3} + 4) \sqrt{{(2 s^{3} + 4)}^{2} - 1}}$ .

$\frac{6}{(2 s^{3} + 4) \sqrt{{(2 s^{3} + 4)}^{2} - 1}} s^{2}$

Этап 5.1.2

Объединим $\frac{6}{(2 s^{3} + 4) \sqrt{{(2 s^{3} + 4)}^{2} - 1}}$ и $s^{2}$ .

$\frac{6 s^{2}}{(2 s^{3} + 4) \sqrt{{(2 s^{3} + 4)}^{2} - 1}}$

Этап 5.1.3

Сократим общий множитель $6$ и $2 s^{3} + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $6 s^{2}$ .

$\frac{2 (3 s^{2})}{(2 s^{3} + 4) \sqrt{{(2 s^{3} + 4)}^{2} - 1}}$

Этап 5.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $(2 s^{3} + 4) \sqrt{{(2 s^{3} + 4)}^{2} - 1}$ .

$\frac{2 (3 s^{2})}{2 ((s^{3} + 2) \sqrt{{(2 s^{3} + 4)}^{2} - 1})}$

Этап 5.1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (3 s^{2})}{2 ((s^{3} + 2) \sqrt{{(2 s^{3} + 4)}^{2} - 1})}$

Этап 5.1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3 s^{2}}{(s^{3} + 2) \sqrt{{(2 s^{3} + 4)}^{2} - 1}}$

Этап 5.2

Изменим порядок членов.

$\frac{3 s^{2}}{\sqrt{{(2 s^{3} + 4)}^{2} - 1} (s^{3} + 2)}$