Математический анализ Примеры

$C x (1 - e^{- k x})$

Этап 1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $C x$ является константой относительно $k$ , производная $C x (1 - e^{- k x})$ по $k$ равна $C x \frac{d}{d k} [1 - e^{- k x}]$ .

$C x \frac{d}{d k} [1 - e^{- k x}]$

Этап 1.2

По правилу суммы производная $1 - e^{- k x}$ по $k$ имеет вид $\frac{d}{d k} [1] + \frac{d}{d k} [- e^{- k x}]$ .

$C x (\frac{d}{d k} [1] + \frac{d}{d k} [- e^{- k x}])$

Этап 1.3

Поскольку $1$ является константой относительно $k$ , производная $1$ относительно $k$ равна $0$ .

$C x (0 + \frac{d}{d k} [- e^{- k x}])$

Этап 1.4

Добавим $0$ и $\frac{d}{d k} [- e^{- k x}]$ .

$C x \frac{d}{d k} [- e^{- k x}]$

Этап 1.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $k$ , производная $- e^{- k x}$ по $k$ равна $- \frac{d}{d k} [e^{- k x}]$ .

$C x (- \frac{d}{d k} [e^{- k x}])$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d k} [f (g (k))]$ имеет вид $f' (g (k)) g' (k)$ , где $f (k) = e^{k}$ и $g (k) = - k x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- k x$ .

$C x (- (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d k} [- k x]))$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$C x (- (e^{u} \frac{d}{d k} [- k x]))$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $- k x$ .

$C x (- (e^{- k x} \frac{d}{d k} [- k x]))$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- x$ является константой относительно $k$ , производная $- k x$ по $k$ равна $- x \frac{d}{d k} [k]$ .

$C x (- e^{- k x} (- x \frac{d}{d k} [k]))$

Этап 3.2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$C x (1 e^{- k x} (x \frac{d}{d k} [k]))$

Этап 3.2.2

Умножим $e^{- k x}$ на $1$ .

$C x (e^{- k x} (x \frac{d}{d k} [k]))$

Этап 4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$C (x^{1} x) (e^{- k x} (\frac{d}{d k} [k]))$

Этап 5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$C (x^{1} x^{1}) (e^{- k x} (\frac{d}{d k} [k]))$

Этап 6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$C x^{1 + 1} (e^{- k x} (\frac{d}{d k} [k]))$

Этап 7

Добавим $1$ и $1$ .

$C x^{2} (e^{- k x} (\frac{d}{d k} [k]))$

Этап 8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d k} [k^{n}]$ имеет вид $n k^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$C x^{2} (e^{- k x} \cdot 1)$

Этап 9

Умножим $e^{- k x}$ на $1$ .

$C x^{2} e^{- k x}$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Изменим порядок множителей в $C x^{2} e^{- k x}$ .

$e^{- k x} x^{2} C$

Этап 10.2

Изменим порядок множителей в $e^{- k x} x^{2} C$ .

$x^{2} C e^{- k x}$