Математический анализ Примеры

$\frac{d}{d x} (\frac{a x - 2}{x^{3} - a})$

Этап 1

Эту производную не удалось вычислить с помощью цепного правила. Mathway использует другой способ.

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d a} [\frac{f (a)}{g (a)}]$ имеет вид $\frac{g (a) \frac{d}{d a} [f (a)] - f (a) \frac{d}{d a} [g (a)]}{{g (a)}^{2}}$ , где $f (a) = a x - 2$ и $g (a) = x^{3} - a$ .

$\frac{(x^{3} - a) \frac{d}{d a} [a x - 2] - (a x - 2) \frac{d}{d a} [x^{3} - a]}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $a x - 2$ по $a$ имеет вид $\frac{d}{d a} [a x] + \frac{d}{d a} [- 2]$ .

$\frac{(x^{3} - a) (\frac{d}{d a} [a x] + \frac{d}{d a} [- 2]) - (a x - 2) \frac{d}{d a} [x^{3} - a]}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Этап 3.2

Поскольку $x$ является константой относительно $a$ , производная $a x$ по $a$ равна $x \frac{d}{d a} [a]$ .

$\frac{(x^{3} - a) (x \frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [- 2]) - (a x - 2) \frac{d}{d a} [x^{3} - a]}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ имеет вид $n a^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(x^{3} - a) (x \cdot 1 + \frac{d}{d a} [- 2]) - (a x - 2) \frac{d}{d a} [x^{3} - a]}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Этап 3.4

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{(x^{3} - a) (x + \frac{d}{d a} [- 2]) - (a x - 2) \frac{d}{d a} [x^{3} - a]}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Этап 3.5

Поскольку $- 2$ является константой относительно $a$ , производная $- 2$ относительно $a$ равна $0$ .

$\frac{(x^{3} - a) (x + 0) - (a x - 2) \frac{d}{d a} [x^{3} - a]}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Этап 3.6

Добавим $x$ и $0$ .

$\frac{(x^{3} - a) x - (a x - 2) \frac{d}{d a} [x^{3} - a]}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Этап 3.7

По правилу суммы производная $x^{3} - a$ по $a$ имеет вид $\frac{d}{d a} [x^{3}] + \frac{d}{d a} [- a]$ .

$\frac{(x^{3} - a) x - (a x - 2) (\frac{d}{d a} [x^{3}] + \frac{d}{d a} [- a])}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Этап 3.8

Поскольку $x^{3}$ является константой относительно $a$ , производная $x^{3}$ относительно $a$ равна $0$ .

$\frac{(x^{3} - a) x - (a x - 2) (0 + \frac{d}{d a} [- a])}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Этап 3.9

Добавим $0$ и $\frac{d}{d a} [- a]$ .

$\frac{(x^{3} - a) x - (a x - 2) \frac{d}{d a} [- a]}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Этап 3.10

Поскольку $- 1$ является константой относительно $a$ , производная $- a$ по $a$ равна $- \frac{d}{d a} [a]$ .

$\frac{(x^{3} - a) x - (a x - 2) (- \frac{d}{d a} [a])}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Этап 3.11

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{(x^{3} - a) x + 1 (a x - 2) \frac{d}{d a} [a]}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Этап 3.11.2

Умножим $a x - 2$ на $1$ .

$\frac{(x^{3} - a) x + (a x - 2) \frac{d}{d a} [a]}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Этап 3.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ имеет вид $n a^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(x^{3} - a) x + (a x - 2) \cdot 1}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Этап 3.13

Умножим $a x - 2$ на $1$ .

$\frac{(x^{3} - a) x + a x - 2}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{3} x - a x + a x - 2}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Этап 4.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Объединим противоположные члены в $x^{3} x - a x + a x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Добавим $- a x$ и $a x$ .

$\frac{x^{3} x + 0 - 2}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Этап 4.2.1.2

Добавим $x^{3} x$ и $0$ .

$\frac{x^{3} x - 2}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Этап 4.2.2

Умножим $x^{3}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Умножим $x^{3}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x^{3} x^{1} - 2}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Этап 4.2.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x^{3 + 1} - 2}{{(x^{3} - a)}^{2}}$

Этап 4.2.2.2

Добавим $3$ и $1$ .

$\frac{x^{4} - 2}{{(x^{3} - a)}^{2}}$