Математический анализ Примеры

$y = x^{2} + 6 x + 6$ , $y = 2 - x^{2}$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$x^{2} + 6 x + 6 = 2 - x^{2}$

Этап 1.2

Решим $x^{2} + 6 x + 6 = 2 - x^{2}$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Добавим $x^{2}$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} + 6 x + 6 + x^{2} = 2$

Этап 1.2.1.2

Добавим $x^{2}$ и $x^{2}$ .

$2 x^{2} + 6 x + 6 = 2$

Этап 1.2.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$2 x^{2} + 6 x + 6 - 2 = 0$

Этап 1.2.3

Вычтем $2$ из $6$ .

$2 x^{2} + 6 x + 4 = 0$

Этап 1.2.4

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2} + 6 x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2}$ .

$2 (x^{2}) + 6 x + 4 = 0$

Этап 1.2.4.1.2

Вынесем множитель $2$ из $6 x$ .

$2 (x^{2}) + 2 (3 x) + 4 = 0$

Этап 1.2.4.1.3

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$2 x^{2} + 2 (3 x) + 2 \cdot 2 = 0$

Этап 1.2.4.1.4

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2} + 2 (3 x)$ .

$2 (x^{2} + 3 x) + 2 \cdot 2 = 0$

Этап 1.2.4.1.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (x^{2} + 3 x) + 2 \cdot 2$ .

$2 (x^{2} + 3 x + 2) = 0$

Этап 1.2.4.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Разложим $x^{2} + 3 x + 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $2$ , а сумма — $3$ .

$1, 2 + y = 2 - x^{2}$

Этап 1.2.4.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$2 ((x + 1) (x + 2)) = 0$

Этап 1.2.4.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 (x + 1) (x + 2) = 0$

Этап 1.2.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 1 = 0$

$x + 2 = 0 + y = 2 - x^{2}$

Этап 1.2.6

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 1.2.6.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 1.2.7

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 1.2.7.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 1.2.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 (x + 1) (x + 2) = 0$ верно.

$x = - 1, - 2$

Этап 1.3

Вычислим $y$ , когда $x = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $- 1$ вместо $x$ .

$y = 2 - {(- 1)}^{2}$

Этап 1.3.2

Упростим $2 - {(- 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1.1

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1.1.1

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1.1.1.1

Возведем $- 1$ в степень $1$ .

$y = 2 + {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2}$

Этап 1.3.2.1.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = 2 + {(- 1)}^{1 + 2}$

Этап 1.3.2.1.1.2

Добавим $1$ и $2$ .

$y = 2 + {(- 1)}^{3}$

Этап 1.3.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$y = 2 - 1$

Этап 1.3.2.2

Вычтем $1$ из $2$ .

$y = 1$

Этап 1.4

Вычислим $y$ , когда $x = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Подставим $- 2$ вместо $x$ .

$y = 2 - {(- 2)}^{2}$

Этап 1.4.2

Упростим $2 - {(- 2)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$y = 2 - 1 \cdot 4$

Этап 1.4.2.1.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$y = 2 - 4$

Этап 1.4.2.2

Вычтем $4$ из $2$ .

$y = - 2$

Этап 1.5

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(- 1, 1)$

$(- 2, - 2)$

$(- 1, 1)$

$(- 2, - 2)$

Этап 2

Изменим порядок $2$ и $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 2$

Этап 3

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{- 2}^{- 1} - x^{2} + 2 d x - \int_{- 2}^{- 1} x^{2} + 6 x + 6 d x$

Этап 4

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $- 2$ и $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{- 2}^{- 1} - x^{2} + 2 - (x^{2} + 6 x + 6) d x$

Этап 4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- x^{2} + 2 - x^{2} - (6 x) - 1 \cdot 6$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Умножим $6$ на $- 1$ .

$- x^{2} + 2 - x^{2} - 6 x - 1 \cdot 6$

Этап 4.2.2.2

Умножим $- 1$ на $6$ .

$- x^{2} + 2 - x^{2} - 6 x - 6$

$\int_{- 2}^{- 1} - x^{2} + 2 - x^{2} - 6 x - 6 d x$

Этап 4.3

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вычтем $x^{2}$ из $- x^{2}$ .

$- 2 x^{2} + 2 - 6 x - 6$

Этап 4.3.2

Вычтем $6$ из $2$ .

$- 2 x^{2} - 6 x - 4$

$\int_{- 2}^{- 1} - 2 x^{2} - 6 x - 4 d x$

Этап 4.4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 2}^{- 1} - 2 x^{2} d x + \int_{- 2}^{- 1} - 6 x d x + \int_{- 2}^{- 1} - 4 d x$

Этап 4.5

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$- 2 \int_{- 2}^{- 1} x^{2} d x + \int_{- 2}^{- 1} - 6 x d x + \int_{- 2}^{- 1} - 4 d x$

Этап 4.6

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- 2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{- 1}) + \int_{- 2}^{- 1} - 6 x d x + \int_{- 2}^{- 1} - 4 d x$

Этап 4.7

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{- 1}) + \int_{- 2}^{- 1} - 6 x d x + \int_{- 2}^{- 1} - 4 d x$

Этап 4.8

Поскольку $- 6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 6$ из-под знака интеграла.

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{- 1}) - 6 \int_{- 2}^{- 1} x d x + \int_{- 2}^{- 1} - 4 d x$

Этап 4.9

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{- 1}) - 6 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 2}^{- 1}) + \int_{- 2}^{- 1} - 4 d x$

Этап 4.10

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{- 1}) - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{- 1}) + \int_{- 2}^{- 1} - 4 d x$

Этап 4.11

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{- 1}) - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{- 1}) + - 4 x]_{- 2}^{- 1}$

Этап 4.12

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.1

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $- 1$ и в $- 2$ .

$- 2 ((\frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{- 1}) + - 4 x]_{- 2}^{- 1}$

Этап 4.12.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $- 1$ и в $- 2$ .

$- 2 (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - 6 (\frac{{(- 1)}^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + - 4 x]_{- 2}^{- 1}$

Этап 4.12.3

Найдем значение $- 4 x$ в $- 1$ и в $- 2$ .

$- 2 (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - 6 (\frac{{(- 1)}^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Этап 4.12.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.4.1

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$- 2 (\frac{- 1}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - 6 (\frac{{(- 1)}^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Этап 4.12.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- 2 (- \frac{1}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - 6 (\frac{{(- 1)}^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Этап 4.12.4.3

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$- 2 (- \frac{1}{3} - \frac{- 8}{3}) - 6 (\frac{{(- 1)}^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Этап 4.12.4.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- 2 (- \frac{1}{3} - - \frac{8}{3}) - 6 (\frac{{(- 1)}^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Этап 4.12.4.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- 2 (- \frac{1}{3} + 1 (\frac{8}{3})) - 6 (\frac{{(- 1)}^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Этап 4.12.4.6

Умножим $\frac{8}{3}$ на $1$ .

$- 2 (- \frac{1}{3} + \frac{8}{3}) - 6 (\frac{{(- 1)}^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Этап 4.12.4.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 2 \frac{- 1 + 8}{3} - 6 (\frac{{(- 1)}^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Этап 4.12.4.8

Добавим $- 1$ и $8$ .

$- 2 (\frac{7}{3}) - 6 (\frac{{(- 1)}^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Этап 4.12.4.9

Объединим $- 2$ и $\frac{7}{3}$ .

$\frac{- 2 \cdot 7}{3} - 6 (\frac{{(- 1)}^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Этап 4.12.4.10

Умножим $- 2$ на $7$ .

$\frac{- 14}{3} - 6 (\frac{{(- 1)}^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Этап 4.12.4.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{14}{3} - 6 (\frac{{(- 1)}^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Этап 4.12.4.12

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$- \frac{14}{3} - 6 (\frac{1}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Этап 4.12.4.13

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$- \frac{14}{3} - 6 (\frac{1}{2} - \frac{4}{2}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Этап 4.12.4.14

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.4.14.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$- \frac{14}{3} - 6 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Этап 4.12.4.14.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.4.14.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \frac{14}{3} - 6 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Этап 4.12.4.14.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{14}{3} - 6 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Этап 4.12.4.14.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{14}{3} - 6 (\frac{1}{2} - \frac{2}{1}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Этап 4.12.4.14.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$- \frac{14}{3} - 6 (\frac{1}{2} - 1 \cdot 2) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Этап 4.12.4.15

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- \frac{14}{3} - 6 (\frac{1}{2} - 2) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Этап 4.12.4.16

Чтобы записать $- 2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{14}{3} - 6 (\frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Этап 4.12.4.17

Объединим $- 2$ и $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{14}{3} - 6 (\frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Этап 4.12.4.18

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{14}{3} - 6 \frac{1 - 2 \cdot 2}{2} + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Этап 4.12.4.19

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.4.19.1

Умножим $- 2$ на $2$ .

$- \frac{14}{3} - 6 \frac{1 - 4}{2} + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Этап 4.12.4.19.2

Вычтем $4$ из $1$ .

$- \frac{14}{3} - 6 (\frac{- 3}{2}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Этап 4.12.4.20

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{14}{3} - 6 (- \frac{3}{2}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Этап 4.12.4.21

Умножим $- 1$ на $- 6$ .

$- \frac{14}{3} + 6 (\frac{3}{2}) + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Этап 4.12.4.22

Объединим $6$ и $\frac{3}{2}$ .

$- \frac{14}{3} + \frac{6 \cdot 3}{2} + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Этап 4.12.4.23

Умножим $6$ на $3$ .

$- \frac{14}{3} + \frac{18}{2} + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Этап 4.12.4.24

Сократим общий множитель $18$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.4.24.1

Вынесем множитель $2$ из $18$ .

$- \frac{14}{3} + \frac{2 \cdot 9}{2} + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Этап 4.12.4.24.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.4.24.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \frac{14}{3} + \frac{2 \cdot 9}{2 (1)} + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Этап 4.12.4.24.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{14}{3} + \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 1} + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Этап 4.12.4.24.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{14}{3} + \frac{9}{1} + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Этап 4.12.4.24.2.4

Разделим $9$ на $1$ .

$- \frac{14}{3} + 9 + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Этап 4.12.4.25

Чтобы записать $9$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{14}{3} + 9 \cdot \frac{3}{3} + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Этап 4.12.4.26

Объединим $9$ и $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{14}{3} + \frac{9 \cdot 3}{3} + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Этап 4.12.4.27

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 14 + 9 \cdot 3}{3} + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Этап 4.12.4.28

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.4.28.1

Умножим $9$ на $3$ .

$\frac{- 14 + 27}{3} + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Этап 4.12.4.28.2

Добавим $- 14$ и $27$ .

$\frac{13}{3} + (- 4 \cdot - 1) + 4 \cdot - 2$

Этап 4.12.4.29

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$\frac{13}{3} + 4 + 4 \cdot - 2$

Этап 4.12.4.30

Умножим $4$ на $- 2$ .

$\frac{13}{3} + 4 - 8$

Этап 4.12.4.31

Вычтем $8$ из $4$ .

$\frac{13}{3} - 4$

Этап 4.12.4.32

Чтобы записать $- 4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{13}{3} - 4 \cdot \frac{3}{3}$

Этап 4.12.4.33

Объединим $- 4$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{13}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3}$

Этап 4.12.4.34

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{13 - 4 \cdot 3}{3}$

Этап 4.12.4.35

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.4.35.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$\frac{13 - 12}{3}$

Этап 4.12.4.35.2

Вычтем $12$ из $13$ .

$\frac{1}{3}$

Этап 5