Математический анализ Примеры

$y = e^{2 x}$ , $y = e^{5 x}$ , $x = 1$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$e^{2 x} = e^{5 x}$

Этап 1.2

Решим $e^{2 x} = e^{5 x}$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку основания одинаковы, два выражения равны только в том случае, если равны экспоненты.

$2 x = 5 x$

Этап 1.2.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1

Вычтем $5 x$ из обеих частей уравнения.

$2 x - 5 x = 0$

Этап 1.2.2.1.2

Вычтем $5 x$ из $2 x$ .

$- 3 x = 0$

Этап 1.2.2.2

Разделим каждый член $- 3 x = 0$ на $- 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Разделим каждый член $- 3 x = 0$ на $- 3$ .

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Этап 1.2.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Этап 1.2.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{- 3}$

Этап 1.2.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.3.1

Разделим $0$ на $- 3$ .

$x = 0$

Этап 1.3

Вычислим $y$ , когда $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$y = e^{5 (0)}$

Этап 1.3.2

Упростим $e^{5 (0)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Умножим $5$ на $0$ .

$y = e^{0}$

Этап 1.3.2.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$y = 1$

Этап 1.4

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(0, 1)$

Этап 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{0}^{1} e^{5 x} d x - \int_{0}^{1} e^{2 x} d x$

Этап 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $0$ и $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{0}^{1} e^{5 x} - (e^{2 x}) d x$

Этап 3.2

Умножим $- 1$ на $e^{2 x}$ .

$\int_{0}^{1} e^{5 x} - e^{2 x} d x$

Этап 3.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{1} e^{5 x} d x + \int_{0}^{1} - e^{2 x} d x$

Этап 3.4

Пусть $u_{1} = 5 x$ . Тогда $d u_{1} = 5 d x$ , следовательно $\frac{1}{5} d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Пусть $u_{1} = 5 x$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Дифференцируем $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Этап 3.4.1.2

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Этап 3.4.1.4

Умножим $5$ на $1$ .

$5$

Этап 3.4.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u_{1} = 5 x$ .

$u_{lower} = 5 \cdot 0$

Этап 3.4.3

Умножим $5$ на $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 3.4.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u_{1} = 5 x$ .

$u_{upper} = 5 \cdot 1$

Этап 3.4.5

Умножим $5$ на $1$ .

$u_{upper} = 5$

Этап 3.4.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 5$

Этап 3.4.7

Переформулируем задачу, используя $u_{1}$ , $d u_{1}$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{0}^{5} e^{u_{1}} \frac{1}{5} d u_{1} + \int_{0}^{1} - e^{2 x} d x$

Этап 3.5

Объединим $e^{u_{1}}$ и $\frac{1}{5}$ .

$\int_{0}^{5} \frac{e^{u_{1}}}{5} d u_{1} + \int_{0}^{1} - e^{2 x} d x$

Этап 3.6

Поскольку $\frac{1}{5}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{5}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{5} \int_{0}^{5} e^{u_{1}} d u_{1} + \int_{0}^{1} - e^{2 x} d x$

Этап 3.7

Интеграл $e^{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $e^{u_{1}}$ .

$\frac{1}{5} e^{u_{1}}]_{0}^{5} + \int_{0}^{1} - e^{2 x} d x$

Этап 3.8

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{5} e^{u_{1}}]_{0}^{5} - \int_{0}^{1} e^{2 x} d x$

Этап 3.9

Пусть $u_{2} = 2 x$ . Тогда $d u_{2} = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Пусть $u_{2} = 2 x$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1.1

Дифференцируем $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 3.9.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.9.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 3.9.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 3.9.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u_{2} = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Этап 3.9.3

Умножим $2$ на $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 3.9.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u_{2} = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 1$

Этап 3.9.5

Умножим $2$ на $1$ .

$u_{upper} = 2$

Этап 3.9.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2$

Этап 3.9.7

Переформулируем задачу, используя $u_{2}$ , $d u_{2}$ и новые пределы интегрирования.

$\frac{1}{5} e^{u_{1}}]_{0}^{5} - \int_{0}^{2} e^{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 3.10

Объединим $e^{u_{2}}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{5} e^{u_{1}}]_{0}^{5} - \int_{0}^{2} \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Этап 3.11

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{5} e^{u_{1}}]_{0}^{5} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{2} e^{u_{2}} d u_{2})$

Этап 3.12

Интеграл $e^{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{5} e^{u_{1}}]_{0}^{5} - \frac{1}{2} e^{u_{2}}]_{0}^{2}$

Этап 3.13

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.1

Найдем значение $e^{u_{1}}$ в $5$ и в $0$ .

$\frac{1}{5} ((e^{5}) - e^{0}) - \frac{1}{2} e^{u_{2}}]_{0}^{2}$

Этап 3.13.2

Найдем значение $e^{u_{2}}$ в $2$ и в $0$ .

$\frac{1}{5} ((e^{5}) - e^{0}) - \frac{1}{2} ((e^{2}) - e^{0})$

Этап 3.13.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.3.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{1}{5} (e^{5} - 1 \cdot 1) - \frac{1}{2} ((e^{2}) - e^{0})$

Этап 3.13.3.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{5} (e^{5} - 1) - \frac{1}{2} ((e^{2}) - e^{0})$

Этап 3.13.3.3

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{1}{5} (e^{5} - 1) - \frac{1}{2} (e^{2} - 1 \cdot 1)$

Этап 3.13.3.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{5} (e^{5} - 1) - \frac{1}{2} (e^{2} - 1)$

Этап 3.14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.14.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.14.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{5} e^{5} + \frac{1}{5} \cdot - 1 - \frac{1}{2} (e^{2} - 1)$

Этап 3.14.1.2

Объединим $\frac{1}{5}$ и $e^{5}$ .

$\frac{e^{5}}{5} + \frac{1}{5} \cdot - 1 - \frac{1}{2} (e^{2} - 1)$

Этап 3.14.1.3

Объединим $\frac{1}{5}$ и $- 1$ .

$\frac{e^{5}}{5} + \frac{- 1}{5} - \frac{1}{2} (e^{2} - 1)$

Этап 3.14.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{1}{5} - \frac{1}{2} (e^{2} - 1)$

Этап 3.14.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{1}{5} - \frac{1}{2} e^{2} - \frac{1}{2} \cdot - 1$

Этап 3.14.1.6

Объединим $e^{2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{1}{5} - \frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot - 1$

Этап 3.14.1.7

Умножим $- \frac{1}{2} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.14.1.7.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{1}{5} - \frac{e^{2}}{2} + 1 (\frac{1}{2})$

Этап 3.14.1.7.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{1}{5} - \frac{e^{2}}{2} + \frac{1}{2}$

Этап 3.14.2

Чтобы записать $- \frac{1}{5}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

Этап 3.14.3

Чтобы записать $\frac{1}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{5}$

Этап 3.14.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $10$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.14.4.1

Умножим $\frac{1}{5}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{e^{2}}{2} - \frac{2}{5 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{5}$

Этап 3.14.4.2

Умножим $5$ на $2$ .

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{e^{2}}{2} - \frac{2}{10} + \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{5}$

Этап 3.14.4.3

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{e^{2}}{2} - \frac{2}{10} + \frac{5}{2 \cdot 5}$

Этап 3.14.4.4

Умножим $2$ на $5$ .

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{e^{2}}{2} - \frac{2}{10} + \frac{5}{10}$

Этап 3.14.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{e^{2}}{2} + \frac{- 2 + 5}{10}$

Этап 3.14.6

Добавим $- 2$ и $5$ .

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{e^{2}}{2} + \frac{3}{10}$

Этап 4