Математический анализ Примеры

$y = 8 x$ , $y = x^{2} - 9$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$8 x = x^{2} - 9$

Этап 1.2

Решим $8 x = x^{2} - 9$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$8 x - x^{2} = - 9$

Этап 1.2.2

Добавим $9$ к обеим частям уравнения.

$8 x - x^{2} + 9 = 0$

Этап 1.2.3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Вынесем множитель $- 1$ из $8 x - x^{2} + 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1

Изменим порядок $8 x$ и $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 8 x + 9 = 0$

Этап 1.2.3.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 8 x + 9 = 0$

Этап 1.2.3.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $8 x$ .

$- (x^{2}) - (- 8 x) + 9 = 0$

Этап 1.2.3.1.4

Перепишем $9$ в виде $- 1 (- 9)$ .

$- (x^{2}) - (- 8 x) - 1 \cdot - 9 = 0$

Этап 1.2.3.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - (- 8 x)$ .

$- (x^{2} - 8 x) - 1 \cdot - 9 = 0$

Этап 1.2.3.1.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2} - 8 x) - 1 (- 9)$ .

$- (x^{2} - 8 x - 9) = 0$

Этап 1.2.3.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Разложим $x^{2} - 8 x - 9$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 9$ , а сумма — $- 8$ .

$- 9, 1 + y = x^{2} - 9$

Этап 1.2.3.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- ((x - 9) (x + 1)) = 0$

Этап 1.2.3.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (x - 9) (x + 1) = 0$

Этап 1.2.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 9 = 0$

$x + 1 = 0 + y = x^{2} - 9$

Этап 1.2.5

Приравняем $x - 9$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Приравняем $x - 9$ к $0$ .

$x - 9 = 0$

Этап 1.2.5.2

Добавим $9$ к обеим частям уравнения.

$x = 9$

Этап 1.2.6

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 1.2.6.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 1.2.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (x - 9) (x + 1) = 0$ верно.

$x = 9, - 1$

Этап 1.3

Вычислим $y$ , когда $x = 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $9$ вместо $x$ .

$y = {(9)}^{2} - 9$

Этап 1.3.2

Подставим $9$ вместо $x$ в $y = {(9)}^{2} - 9$ и решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 9^{2} - 9$

Этап 1.3.2.2

Упростим $9^{2} - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1

Возведем $9$ в степень $2$ .

$y = 81 - 9$

Этап 1.3.2.2.2

Вычтем $9$ из $81$ .

$y = 72$

Этап 1.4

Вычислим $y$ , когда $x = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Подставим $- 1$ вместо $x$ .

$y = {(- 1)}^{2} - 9$

Этап 1.4.2

Упростим ${(- 1)}^{2} - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$y = 1 - 9$

Этап 1.4.2.2

Вычтем $9$ из $1$ .

$y = - 8$

Этап 1.5

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(9, 72)$

$(- 1, - 8)$

$(9, 72)$

$(- 1, - 8)$

Этап 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{- 1}^{9} 8 x d x - \int_{- 1}^{9} x^{2} - 9 d x$

Этап 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $- 1$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{- 1}^{9} 8 x - (x^{2} - 9) d x$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$8 x - x^{2} - - 9$

Этап 3.2.2

Умножим $- 1$ на $- 9$ .

$8 x - x^{2} + 9$

$\int_{- 1}^{9} 8 x - x^{2} + 9 d x$

Этап 3.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 1}^{9} 8 x d x + \int_{- 1}^{9} - x^{2} d x + \int_{- 1}^{9} 9 d x$

Этап 3.4

Поскольку $8$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $8$ из-под знака интеграла.

$8 \int_{- 1}^{9} x d x + \int_{- 1}^{9} - x^{2} d x + \int_{- 1}^{9} 9 d x$

Этап 3.5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{9}) + \int_{- 1}^{9} - x^{2} d x + \int_{- 1}^{9} 9 d x$

Этап 3.6

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$8 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{9}) + \int_{- 1}^{9} - x^{2} d x + \int_{- 1}^{9} 9 d x$

Этап 3.7

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$8 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{9}) - \int_{- 1}^{9} x^{2} d x + \int_{- 1}^{9} 9 d x$

Этап 3.8

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$8 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{9}) - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{9}) + \int_{- 1}^{9} 9 d x$

Этап 3.9

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$8 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{9}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{9}) + \int_{- 1}^{9} 9 d x$

Этап 3.10

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$8 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{9}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{9}) + 9 x]_{- 1}^{9}$

Этап 3.11

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $9$ и в $- 1$ .

$8 ((\frac{9^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{9}) + 9 x]_{- 1}^{9}$

Этап 3.11.2

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $9$ и в $- 1$ .

$8 (\frac{9^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{9^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 9 x]_{- 1}^{9}$

Этап 3.11.3

Найдем значение $9 x$ в $9$ и в $- 1$ .

$8 (\frac{9^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{9^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (9 \cdot 9) - 9 \cdot - 1$

Этап 3.11.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.4.1

Возведем $9$ в степень $2$ .

$8 (\frac{81}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{9^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (9 \cdot 9) - 9 \cdot - 1$

Этап 3.11.4.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$8 (\frac{81}{2} - \frac{1}{2}) - (\frac{9^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (9 \cdot 9) - 9 \cdot - 1$

Этап 3.11.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$8 \frac{81 - 1}{2} - (\frac{9^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (9 \cdot 9) - 9 \cdot - 1$

Этап 3.11.4.4

Вычтем $1$ из $81$ .

$8 (\frac{80}{2}) - (\frac{9^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (9 \cdot 9) - 9 \cdot - 1$

Этап 3.11.4.5

Сократим общий множитель $80$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.4.5.1

Вынесем множитель $2$ из $80$ .

$8 \frac{2 \cdot 40}{2} - (\frac{9^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (9 \cdot 9) - 9 \cdot - 1$

Этап 3.11.4.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.4.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$8 \frac{2 \cdot 40}{2 (1)} - (\frac{9^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (9 \cdot 9) - 9 \cdot - 1$

Этап 3.11.4.5.2.2

Сократим общий множитель.

$8 \frac{2 \cdot 40}{2 \cdot 1} - (\frac{9^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (9 \cdot 9) - 9 \cdot - 1$

Этап 3.11.4.5.2.3

Перепишем это выражение.

$8 (\frac{40}{1}) - (\frac{9^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (9 \cdot 9) - 9 \cdot - 1$

Этап 3.11.4.5.2.4

Разделим $40$ на $1$ .

$8 \cdot 40 - (\frac{9^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (9 \cdot 9) - 9 \cdot - 1$

Этап 3.11.4.6

Умножим $8$ на $40$ .

$320 - (\frac{9^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (9 \cdot 9) - 9 \cdot - 1$

Этап 3.11.4.7

Возведем $9$ в степень $3$ .

$320 - (\frac{729}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (9 \cdot 9) - 9 \cdot - 1$

Этап 3.11.4.8

Сократим общий множитель $729$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.4.8.1

Вынесем множитель $3$ из $729$ .

$320 - (\frac{3 \cdot 243}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (9 \cdot 9) - 9 \cdot - 1$

Этап 3.11.4.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.4.8.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$320 - (\frac{3 \cdot 243}{3 (1)} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (9 \cdot 9) - 9 \cdot - 1$

Этап 3.11.4.8.2.2

Сократим общий множитель.

$320 - (\frac{3 \cdot 243}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (9 \cdot 9) - 9 \cdot - 1$

Этап 3.11.4.8.2.3

Перепишем это выражение.

$320 - (\frac{243}{1} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (9 \cdot 9) - 9 \cdot - 1$

Этап 3.11.4.8.2.4

Разделим $243$ на $1$ .

$320 - (243 - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (9 \cdot 9) - 9 \cdot - 1$

Этап 3.11.4.9

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$320 - (243 - \frac{- 1}{3}) + (9 \cdot 9) - 9 \cdot - 1$

Этап 3.11.4.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$320 - (243 - - \frac{1}{3}) + (9 \cdot 9) - 9 \cdot - 1$

Этап 3.11.4.11

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$320 - (243 + 1 (\frac{1}{3})) + (9 \cdot 9) - 9 \cdot - 1$

Этап 3.11.4.12

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$320 - (243 + \frac{1}{3}) + (9 \cdot 9) - 9 \cdot - 1$

Этап 3.11.4.13

Чтобы записать $243$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$320 - (243 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}) + (9 \cdot 9) - 9 \cdot - 1$

Этап 3.11.4.14

Объединим $243$ и $\frac{3}{3}$ .

$320 - (\frac{243 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}) + (9 \cdot 9) - 9 \cdot - 1$

Этап 3.11.4.15

Объединим числители над общим знаменателем.

$320 - \frac{243 \cdot 3 + 1}{3} + (9 \cdot 9) - 9 \cdot - 1$

Этап 3.11.4.16

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.4.16.1

Умножим $243$ на $3$ .

$320 - \frac{729 + 1}{3} + (9 \cdot 9) - 9 \cdot - 1$

Этап 3.11.4.16.2

Добавим $729$ и $1$ .

$320 - \frac{730}{3} + (9 \cdot 9) - 9 \cdot - 1$

Этап 3.11.4.17

Чтобы записать $320$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$320 \cdot \frac{3}{3} - \frac{730}{3} + (9 \cdot 9) - 9 \cdot - 1$

Этап 3.11.4.18

Объединим $320$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{320 \cdot 3}{3} - \frac{730}{3} + (9 \cdot 9) - 9 \cdot - 1$

Этап 3.11.4.19

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{320 \cdot 3 - 730}{3} + (9 \cdot 9) - 9 \cdot - 1$

Этап 3.11.4.20

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.4.20.1

Умножим $320$ на $3$ .

$\frac{960 - 730}{3} + (9 \cdot 9) - 9 \cdot - 1$

Этап 3.11.4.20.2

Вычтем $730$ из $960$ .

$\frac{230}{3} + (9 \cdot 9) - 9 \cdot - 1$

Этап 3.11.4.21

Умножим $9$ на $9$ .

$\frac{230}{3} + 81 - 9 \cdot - 1$

Этап 3.11.4.22

Умножим $- 9$ на $- 1$ .

$\frac{230}{3} + 81 + 9$

Этап 3.11.4.23

Добавим $81$ и $9$ .

$\frac{230}{3} + 90$

Этап 3.11.4.24

Чтобы записать $90$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{230}{3} + 90 \cdot \frac{3}{3}$

Этап 3.11.4.25

Объединим $90$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{230}{3} + \frac{90 \cdot 3}{3}$

Этап 3.11.4.26

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{230 + 90 \cdot 3}{3}$

Этап 3.11.4.27

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.4.27.1

Умножим $90$ на $3$ .

$\frac{230 + 270}{3}$

Этап 3.11.4.27.2

Добавим $230$ и $270$ .

$\frac{500}{3}$

Этап 4