Математический анализ Примеры

$y = 2 x$ , $y = 5 x^{2}$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$2 x = 5 x^{2}$

Этап 1.2

Решим $2 x = 5 x^{2}$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычтем $5 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$2 x - 5 x^{2} = 0$

Этап 1.2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Пусть $u = x$ . Подставим $u$ вместо $x$ для всех.

$2 u - 5 u^{2} = 0$

Этап 1.2.2.2

Вынесем множитель $u$ из $2 u - 5 u^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Вынесем множитель $u$ из $2 u$ .

$u \cdot 2 - 5 u^{2} = 0$

Этап 1.2.2.2.2

Вынесем множитель $u$ из $- 5 u^{2}$ .

$u \cdot 2 + u (- 5 u) = 0$

Этап 1.2.2.2.3

Вынесем множитель $u$ из $u \cdot 2 + u (- 5 u)$ .

$u (2 - 5 u) = 0$

Этап 1.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$x (2 - 5 x) = 0$

Этап 1.2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$2 - 5 x = 0 + y = 5 x^{2}$

Этап 1.2.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 1.2.5

Приравняем $2 - 5 x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Приравняем $2 - 5 x$ к $0$ .

$2 - 5 x = 0$

Этап 1.2.5.2

Решим $2 - 5 x = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$- 5 x = - 2$

Этап 1.2.5.2.2

Разделим каждый член $- 5 x = - 2$ на $- 5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.2.1

Разделим каждый член $- 5 x = - 2$ на $- 5$ .

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{- 2}{- 5}$

Этап 1.2.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{- 2}{- 5}$

Этап 1.2.5.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 5}$

Этап 1.2.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x = \frac{2}{5}$

Этап 1.2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (2 - 5 x) = 0$ верно.

$x = 0, \frac{2}{5}$

Этап 1.3

Вычислим $y$ , когда $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$y = 5 {(0)}^{2}$

Этап 1.3.2

Подставим $0$ вместо $x$ в $y = 5 {(0)}^{2}$ и решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 5 \cdot 0^{2}$

Этап 1.3.2.2

Упростим $5 \cdot 0^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$y = 5 \cdot 0$

Этап 1.3.2.2.2

Умножим $5$ на $0$ .

$y = 0$

Этап 1.4

Вычислим $y$ , когда $x = \frac{2}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Подставим $\frac{2}{5}$ вместо $x$ .

$y = 5 {(\frac{2}{5})}^{2}$

Этап 1.4.2

Упростим $5 {(\frac{2}{5})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{2}{5}$ .

$y = 5 \frac{2^{2}}{5^{2}}$

Этап 1.4.2.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$y = 5 \frac{4}{5^{2}}$

Этап 1.4.2.1.3

Возведем $5$ в степень $2$ .

$y = 5 (\frac{4}{25})$

Этап 1.4.2.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1

Вынесем множитель $5$ из $25$ .

$y = 5 \frac{4}{5 (5)}$

Этап 1.4.2.2.2

Сократим общий множитель.

$y = 5 \frac{4}{5 \cdot 5}$

Этап 1.4.2.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{4}{5}$

Этап 1.5

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(0, 0)$

$(\frac{2}{5}, \frac{4}{5})$

$(0, 0)$

$(\frac{2}{5}, \frac{4}{5})$

Этап 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{0}^{\frac{2}{5}} 2 x d x - \int_{0}^{\frac{2}{5}} 5 x^{2} d x$

Этап 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $0$ и $\frac{2}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{0}^{\frac{2}{5}} 2 x - (5 x^{2}) d x$

Этап 3.2

Умножим $5$ на $- 1$ .

$\int_{0}^{\frac{2}{5}} 2 x - 5 x^{2} d x$

Этап 3.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{\frac{2}{5}} 2 x d x + \int_{0}^{\frac{2}{5}} - 5 x^{2} d x$

Этап 3.4

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int_{0}^{\frac{2}{5}} x d x + \int_{0}^{\frac{2}{5}} - 5 x^{2} d x$

Этап 3.5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{\frac{2}{5}}) + \int_{0}^{\frac{2}{5}} - 5 x^{2} d x$

Этап 3.6

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{\frac{2}{5}}) + \int_{0}^{\frac{2}{5}} - 5 x^{2} d x$

Этап 3.7

Поскольку $- 5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 5$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{\frac{2}{5}}) - 5 \int_{0}^{\frac{2}{5}} x^{2} d x$

Этап 3.8

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{\frac{2}{5}}) - 5 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{\frac{2}{5}})$

Этап 3.9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{\frac{2}{5}}) - 5 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{\frac{2}{5}})$

Этап 3.9.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.1

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $\frac{2}{5}$ и в $0$ .

$2 ((\frac{{(\frac{2}{5})}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) - 5 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{\frac{2}{5}})$

Этап 3.9.2.2

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $\frac{2}{5}$ и в $0$ .

$2 (\frac{{(\frac{2}{5})}^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 5 (\frac{{(\frac{2}{5})}^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 3.9.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$2 (\frac{{(\frac{2}{5})}^{2}}{2} - \frac{0}{2}) - 5 (\frac{{(\frac{2}{5})}^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 3.9.2.3.2

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$2 (\frac{{(\frac{2}{5})}^{2}}{2} - \frac{2 (0)}{2}) - 5 (\frac{{(\frac{2}{5})}^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 3.9.2.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$2 (\frac{{(\frac{2}{5})}^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - 5 (\frac{{(\frac{2}{5})}^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 3.9.2.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$2 (\frac{{(\frac{2}{5})}^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - 5 (\frac{{(\frac{2}{5})}^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 3.9.2.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$2 (\frac{{(\frac{2}{5})}^{2}}{2} - \frac{0}{1}) - 5 (\frac{{(\frac{2}{5})}^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 3.9.2.3.2.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$2 (\frac{{(\frac{2}{5})}^{2}}{2} - 0) - 5 (\frac{{(\frac{2}{5})}^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 3.9.2.3.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$2 (\frac{{(\frac{2}{5})}^{2}}{2} + 0) - 5 (\frac{{(\frac{2}{5})}^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 3.9.2.3.4

Добавим $\frac{{(\frac{2}{5})}^{2}}{2}$ и $0$ .

$2 \frac{{(\frac{2}{5})}^{2}}{2} - 5 (\frac{{(\frac{2}{5})}^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 3.9.2.3.5

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$2 \frac{{(\frac{2}{5})}^{2}}{2} - 5 (\frac{{(\frac{2}{5})}^{3}}{3} - \frac{0}{3})$

Этап 3.9.2.3.6

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.3.6.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$2 \frac{{(\frac{2}{5})}^{2}}{2} - 5 (\frac{{(\frac{2}{5})}^{3}}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

Этап 3.9.2.3.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.3.6.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$2 \frac{{(\frac{2}{5})}^{2}}{2} - 5 (\frac{{(\frac{2}{5})}^{3}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Этап 3.9.2.3.6.2.2

Сократим общий множитель.

$2 \frac{{(\frac{2}{5})}^{2}}{2} - 5 (\frac{{(\frac{2}{5})}^{3}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Этап 3.9.2.3.6.2.3

Перепишем это выражение.

$2 \frac{{(\frac{2}{5})}^{2}}{2} - 5 (\frac{{(\frac{2}{5})}^{3}}{3} - \frac{0}{1})$

Этап 3.9.2.3.6.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$2 \frac{{(\frac{2}{5})}^{2}}{2} - 5 (\frac{{(\frac{2}{5})}^{3}}{3} - 0)$

Этап 3.9.2.3.7

Умножим $- 1$ на $0$ .

$2 \frac{{(\frac{2}{5})}^{2}}{2} - 5 (\frac{{(\frac{2}{5})}^{3}}{3} + 0)$

Этап 3.9.2.3.8

Добавим $\frac{{(\frac{2}{5})}^{3}}{3}$ и $0$ .

$2 \frac{{(\frac{2}{5})}^{2}}{2} - 5 \frac{{(\frac{2}{5})}^{3}}{3}$

Этап 3.9.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.3.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{{(\frac{2}{5})}^{2}}{2} - 5 \frac{{(\frac{2}{5})}^{3}}{3}$

Этап 3.9.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

${(\frac{2}{5})}^{2} - 5 \frac{{(\frac{2}{5})}^{3}}{3}$

Этап 3.9.3.1.2

Применим правило умножения к $\frac{2}{5}$ .

$\frac{2^{2}}{5^{2}} - 5 \frac{{(\frac{2}{5})}^{3}}{3}$

Этап 3.9.3.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{4}{5^{2}} - 5 \frac{{(\frac{2}{5})}^{3}}{3}$

Этап 3.9.3.1.4

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\frac{4}{25} - 5 \frac{{(\frac{2}{5})}^{3}}{3}$

Этап 3.9.3.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.3.1.5.1

Применим правило умножения к $\frac{2}{5}$ .

$\frac{4}{25} - 5 \frac{\frac{2^{3}}{5^{3}}}{3}$

Этап 3.9.3.1.5.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{4}{25} - 5 \frac{\frac{8}{5^{3}}}{3}$

Этап 3.9.3.1.5.3

Возведем $5$ в степень $3$ .

$\frac{4}{25} - 5 \frac{\frac{8}{125}}{3}$

Этап 3.9.3.1.6

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{4}{25} - 5 (\frac{8}{125} \cdot \frac{1}{3})$

Этап 3.9.3.1.7

Умножим $\frac{8}{125} \cdot \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.3.1.7.1

Умножим $\frac{8}{125}$ на $\frac{1}{3}$ .

$\frac{4}{25} - 5 \frac{8}{125 \cdot 3}$

Этап 3.9.3.1.7.2

Умножим $125$ на $3$ .

$\frac{4}{25} - 5 (\frac{8}{375})$

Этап 3.9.3.1.8

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.3.1.8.1

Вынесем множитель $5$ из $- 5$ .

$\frac{4}{25} + 5 (- 1) \frac{8}{375}$

Этап 3.9.3.1.8.2

Вынесем множитель $5$ из $375$ .

$\frac{4}{25} + 5 \cdot - 1 \frac{8}{5 \cdot 75}$

Этап 3.9.3.1.8.3

Сократим общий множитель.

$\frac{4}{25} + 5 \cdot - 1 \frac{8}{5 \cdot 75}$

Этап 3.9.3.1.8.4

Перепишем это выражение.

$\frac{4}{25} - \frac{8}{75}$

Этап 3.9.3.2

Чтобы записать $\frac{4}{25}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{25} \cdot \frac{3}{3} - \frac{8}{75}$

Этап 3.9.3.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $75$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.3.3.1

Умножим $\frac{4}{25}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 \cdot 3}{25 \cdot 3} - \frac{8}{75}$

Этап 3.9.3.3.2

Умножим $25$ на $3$ .

$\frac{4 \cdot 3}{75} - \frac{8}{75}$

Этап 3.9.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4 \cdot 3 - 8}{75}$

Этап 3.9.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.3.5.1

Умножим $4$ на $3$ .

$\frac{12 - 8}{75}$

Этап 3.9.3.5.2

Вычтем $8$ из $12$ .

$\frac{4}{75}$

Этап 4