Математический анализ Примеры

$y = 2 \sqrt{x}$ , $y = 0$ , $x = 3$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$2 \sqrt{x} = 0$

Этап 1.2

Решим $2 \sqrt{x} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(2 \sqrt{x})}^{2} = 0^{2}$

Этап 1.2.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 1.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Упростим ${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.1

Применим правило умножения к $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 1.2.2.2.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 1.2.2.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 1.2.2.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 1.2.2.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$4 x^{1} = 0^{2}$

Этап 1.2.2.2.1.4

Упростим.

$4 x = 0^{2}$

Этап 1.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$4 x = 0$

Этап 1.2.3

Разделим каждый член $4 x = 0$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Разделим каждый член $4 x = 0$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Этап 1.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Этап 1.2.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Этап 1.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.1

Разделим $0$ на $4$ .

$x = 0$

Этап 1.3

Подставим $0$ вместо $x$ .

$y = 0$

Этап 1.4

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(0, 0)$

Этап 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{0}^{3} 2 \sqrt{x} d x - \int_{0}^{3} 0 d x$

Этап 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{0}^{3} 2 \sqrt{x} - (0) d x$

Этап 3.2

Вычтем $0$ из $2 \sqrt{x}$ .

$\int_{0}^{3} 2 \sqrt{x} d x$

Этап 3.3

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int_{0}^{3} \sqrt{x} d x$

Этап 3.4

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \int_{0}^{3} x^{\frac{1}{2}} d x$

Этап 3.5

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{3})$

Этап 3.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $x^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{3})$

Этап 3.6.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Найдем значение $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ в $3$ и в $0$ .

$2 ((\frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 3.6.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.1

Перенесем $3^{1}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$2 (2 \cdot 3^{\frac{3}{2}} \cdot 3^{- 1} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 3.6.2.2.2

Умножим $3^{\frac{3}{2}}$ на $3^{- 1}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.2.1

Перенесем $3^{- 1}$ .

$2 (2 \cdot (3^{- 1} \cdot 3^{\frac{3}{2}}) - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 3.6.2.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 (2 \cdot 3^{- 1 + \frac{3}{2}} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 3.6.2.2.2.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 (2 \cdot 3^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 3.6.2.2.2.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$2 (2 \cdot 3^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 3.6.2.2.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 (2 \cdot 3^{\frac{- 1 \cdot 2 + 3}{2}} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 3.6.2.2.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.2.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$2 (2 \cdot 3^{\frac{- 2 + 3}{2}} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 3.6.2.2.2.6.2

Добавим $- 2$ и $3$ .

$2 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 3.6.2.2.3

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$2 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 3.6.2.2.4

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

Этап 3.6.2.2.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.5.1

Сократим общий множитель.

$2 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

Этап 3.6.2.2.5.2

Перепишем это выражение.

$2 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2 \cdot 0^{3}}{3})$

Этап 3.6.2.2.6

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$2 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2 \cdot 0}{3})$

Этап 3.6.2.2.7

Умножим $2$ на $0$ .

$2 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{0}{3})$

Этап 3.6.2.2.8

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.8.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$2 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{3 (0)}{3})$

Этап 3.6.2.2.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.8.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$2 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Этап 3.6.2.2.8.2.2

Сократим общий множитель.

$2 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Этап 3.6.2.2.8.2.3

Перепишем это выражение.

$2 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{0}{1})$

Этап 3.6.2.2.8.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$2 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - 0)$

Этап 3.6.2.2.9

Умножим $- 1$ на $0$ .

$2 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} + 0)$

Этап 3.6.2.2.10

Добавим $2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}$ и $0$ .

$2 (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})$

Этап 3.6.2.2.11

Умножим $2$ на $2$ .

$4 \cdot 3^{\frac{1}{2}}$

Этап 4