Математический анализ Примеры

$y = \frac{4}{9} x^{2}$ , $y = \frac{13}{9} - x^{2}$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$\frac{4}{9} x^{2} = \frac{13}{9} - x^{2}$

Этап 1.2

Решим $\frac{4}{9} x^{2} = \frac{13}{9} - x^{2}$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Упростим $\frac{4}{9} x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Перепишем.

$0 + 0 + \frac{4}{9} x^{2} = \frac{13}{9} - x^{2}$

Этап 1.2.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$\frac{4}{9} x^{2} = \frac{13}{9} - x^{2}$

Этап 1.2.1.3

Объединим $\frac{4}{9}$ и $x^{2}$ .

$\frac{4 x^{2}}{9} = \frac{13}{9} - x^{2}$

Этап 1.2.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Добавим $x^{2}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{4 x^{2}}{9} + x^{2} = \frac{13}{9}$

Этап 1.2.2.2

Чтобы записать $x^{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{9}{9}$ .

$\frac{4 x^{2}}{9} + x^{2} \cdot \frac{9}{9} = \frac{13}{9}$

Этап 1.2.2.3

Объединим $x^{2}$ и $\frac{9}{9}$ .

$\frac{4 x^{2}}{9} + \frac{x^{2} \cdot 9}{9} = \frac{13}{9}$

Этап 1.2.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4 x^{2} + x^{2} \cdot 9}{9} = \frac{13}{9}$

Этап 1.2.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.5.1

Перенесем $9$ влево от $x^{2}$ .

$\frac{4 x^{2} + 9 \cdot x^{2}}{9} = \frac{13}{9}$

Этап 1.2.2.5.2

Добавим $4 x^{2}$ и $9 x^{2}$ .

$\frac{13 x^{2}}{9} = \frac{13}{9}$

Этап 1.2.3

Поскольку выражения в каждой части уравнения имеют одинаковые знаменатели, числители должны быть равны.

$13 x^{2} = 13$

Этап 1.2.4

Разделим каждый член $13 x^{2} = 13$ на $13$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Разделим каждый член $13 x^{2} = 13$ на $13$ .

$\frac{13 x^{2}}{13} = \frac{13}{13}$

Этап 1.2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Сократим общий множитель $13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{13 x^{2}}{13} = \frac{13}{13}$

Этап 1.2.4.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{13}{13}$

Этап 1.2.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.3.1

Разделим $13$ на $13$ .

$x^{2} = 1$

Этап 1.2.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Этап 1.2.6

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm 1$

Этап 1.2.7

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 1$

Этап 1.2.7.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 1$

Этап 1.2.7.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 1, - 1$

Этап 1.3

Вычислим $y$ , когда $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $1$ вместо $x$ .

$y = \frac{13}{9} - {(1)}^{2}$

Этап 1.3.2

Подставим $1$ вместо $x$ в $y = \frac{13}{9} - {(1)}^{2}$ и решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Избавимся от скобок.

$y = \frac{13}{9} - 1^{2}$

Этап 1.3.2.2

Упростим $\frac{13}{9} - 1^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$y = \frac{13}{9} - 1 \cdot 1$

Этап 1.3.2.2.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$y = \frac{13}{9} - 1$

Этап 1.3.2.2.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{13}{9} - 1 \cdot \frac{9}{9}$

Этап 1.3.2.2.3

Объединим $- 1$ и $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{13}{9} + \frac{- 1 \cdot 9}{9}$

Этап 1.3.2.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{13 - 1 \cdot 9}{9}$

Этап 1.3.2.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.5.1

Умножим $- 1$ на $9$ .

$y = \frac{13 - 9}{9}$

Этап 1.3.2.2.5.2

Вычтем $9$ из $13$ .

$y = \frac{4}{9}$

Этап 1.4

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(1, \frac{4}{9})$

$(- 1, \frac{4}{9})$

$(1, \frac{4}{9})$

$(- 1, \frac{4}{9})$

Этап 2

Объединим $\frac{4}{9}$ и $x^{2}$ .

$y = \frac{4 x^{2}}{9}$

Этап 3

Изменим порядок $\frac{13}{9}$ и $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + \frac{13}{9}$

Этап 4

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{- 1}^{1} - x^{2} + \frac{13}{9} d x - \int_{- 1}^{1} \frac{4 x^{2}}{9} d x$

Этап 5

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $- 1$ и $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{- 1}^{1} - x^{2} + \frac{13}{9} - (\frac{4 x^{2}}{9}) d x$

Этап 5.2

Чтобы записать $- x^{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{9}{9}$ .

$\int_{- 1}^{1} - x^{2} \cdot \frac{9}{9} - \frac{4 x^{2}}{9} + \frac{13}{9} d x$

Этап 5.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Объединим $- x^{2}$ и $\frac{9}{9}$ .

$\frac{- x^{2} \cdot 9}{9} - \frac{4 x^{2}}{9} + \frac{13}{9}$

Этап 5.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- x^{2} \cdot 9 - 4 x^{2}}{9} + \frac{13}{9}$

Этап 5.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- x^{2} \cdot 9 - 4 x^{2} + 13}{9}$

Этап 5.3.4

Умножим $9$ на $- 1$ .

$\frac{- 9 x^{2} - 4 x^{2} + 13}{9}$

Этап 5.3.5

Вычтем $4 x^{2}$ из $- 9 x^{2}$ .

$\frac{- 13 x^{2} + 13}{9}$

$\int_{- 1}^{1} \frac{- 13 x^{2} + 13}{9} d x$

Этап 5.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вынесем множитель $13$ из $- 13 x^{2} + 13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Вынесем множитель $13$ из $- 13 x^{2}$ .

$\frac{13 (- x^{2}) + 13}{9}$

Этап 5.4.1.2

Вынесем множитель $13$ из $13$ .

$\frac{13 (- x^{2}) + 13 (1)}{9}$

Этап 5.4.1.3

Вынесем множитель $13$ из $13 (- x^{2}) + 13 (1)$ .

$\frac{13 (- x^{2} + 1)}{9}$

Этап 5.4.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{13 (- x^{2} + 1^{2})}{9}$

Этап 5.4.3

Изменим порядок $- x^{2}$ и $1^{2}$ .

$\frac{13 (1^{2} - x^{2})}{9}$

Этап 5.4.4

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = x$ .

$\frac{13 (1 + x) (1 - x)}{9}$

$\int_{- 1}^{1} \frac{13 (1 + x) (1 - x)}{9} d x$

Этап 5.5

Поскольку $\frac{13}{9}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{13}{9}$ из-под знака интеграла.

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} (1 + x) (1 - x) d x$

Этап 5.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 (1 - x) + x (1 - x) d x$

Этап 5.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x) d x$

Этап 5.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) d x$

Этап 5.6.4

Изменим порядок $x$ и $1$ .

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 x + 1 \cdot x + x (- x) d x$

Этап 5.6.5

Изменим порядок $x$ и $- 1$ .

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 x + 1 \cdot x - 1 \cdot x \cdot x d x$

Этап 5.6.6

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 + 1 \cdot - 1 x + 1 x - 1 x \cdot x d x$

Этап 5.6.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 - x + 1 x - 1 x \cdot x d x$

Этап 5.6.8

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 - x + x - 1 x \cdot x d x$

Этап 5.6.9

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 - x + x - (x \cdot x) d x$

Этап 5.6.10

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 - x + x - (x^{1} x) d x$

Этап 5.6.11

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 - x + x - (x^{1} x^{1}) d x$

Этап 5.6.12

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 - x + x - x^{1 + 1} d x$

Этап 5.6.13

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 - x + x - x^{2} d x$

Этап 5.6.14

Добавим $- x$ и $x$ .

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 + 0 - x^{2} d x$

Этап 5.6.15

Вычтем $x^{2}$ из $0$ .

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 - x^{2} d x$

Этап 5.6.16

Изменим порядок $1$ и $- x^{2}$ .

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} - x^{2} + 1 d x$

Этап 5.7

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{13}{9} (\int_{- 1}^{1} - x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x)$

Этап 5.8

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{13}{9} (- \int_{- 1}^{1} x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x)$

Этап 5.9

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{13}{9} (- (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} d x)$

Этап 5.10

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$\frac{13}{9} (- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} d x)$

Этап 5.11

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{13}{9} (- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + x]_{- 1}^{1})$

Этап 5.12

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.12.1

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $1$ и в $- 1$ .

$\frac{13}{9} (- ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + x]_{- 1}^{1})$

Этап 5.12.2

Найдем значение $x$ в $1$ и в $- 1$ .

$\frac{13}{9} (- (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 1 + 1)$

Этап 5.12.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.12.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{13}{9} (- (\frac{1}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 1 + 1)$

Этап 5.12.3.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$\frac{13}{9} (- (\frac{1}{3} - \frac{- 1}{3}) + 1 + 1)$

Этап 5.12.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{13}{9} (- (\frac{1}{3} - - \frac{1}{3}) + 1 + 1)$

Этап 5.12.3.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{13}{9} (- (\frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3})) + 1 + 1)$

Этап 5.12.3.5

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$\frac{13}{9} (- (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}) + 1 + 1)$

Этап 5.12.3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{13}{9} (- \frac{1 + 1}{3} + 1 + 1)$

Этап 5.12.3.7

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{13}{9} (- \frac{2}{3} + 1 + 1)$

Этап 5.12.3.8

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{13}{9} (- \frac{2}{3} + 2)$

Этап 5.12.3.9

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{13}{9} (- \frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3})$

Этап 5.12.3.10

Объединим $2$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{13}{9} (- \frac{2}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3})$

Этап 5.12.3.11

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{13}{9} \cdot \frac{- 2 + 2 \cdot 3}{3}$

Этап 5.12.3.12

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.12.3.12.1

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{13}{9} \cdot \frac{- 2 + 6}{3}$

Этап 5.12.3.12.2

Добавим $- 2$ и $6$ .

$\frac{13}{9} \cdot \frac{4}{3}$

Этап 5.12.3.13

Умножим $\frac{13}{9}$ на $\frac{4}{3}$ .

$\frac{13 \cdot 4}{9 \cdot 3}$

Этап 5.12.3.14

Умножим $13$ на $4$ .

$\frac{52}{9 \cdot 3}$

Этап 5.12.3.15

Умножим $9$ на $3$ .

$\frac{52}{27}$

Этап 6