Математический анализ Примеры

$y = \frac{1}{x}$ , $y = \frac{1}{x^{2}}$ , $x = 2$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x^{2}}$

Этап 1.2

Решим $\frac{1}{x} = \frac{1}{x^{2}}$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x, x^{2} + y = \frac{1}{x^{2}}$

Этап 1.2.1.2

Since $x, x^{2}$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1$ then find LCM for the variable part $x^{1}, x^{2}$ .

Этап 1.2.1.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

$1$ перечисляет простые множители каждого числа.

Этап 1.2.1.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 1.2.1.5

НОК $1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1 + y = \frac{1}{x^{2}}$

Этап 1.2.1.6

Множителем $x^{1}$ является само значение $x$ .

$x = x$

Этап 1.2.1.7

Множители $x^{2}$ — $x \cdot x$ , то есть $x$ , умноженный сам на себя $2$ раз.

$x^{2} = x \cdot x$

Этап 1.2.1.8

НОК $x^{1}, x^{2}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$x \cdot x + y = \frac{1}{x^{2}}$

Этап 1.2.1.9

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + y = \frac{1}{x^{2}}$

Этап 1.2.2

Каждый член в $\frac{1}{x} = \frac{1}{x^{2}}$ умножим на $x^{2}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Умножим каждый член $\frac{1}{x} = \frac{1}{x^{2}}$ на $x^{2}$ .

$\frac{1}{x} x^{2} = \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

Этап 1.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{1}{x} (x \cdot x) = \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

Этап 1.2.2.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{x} (x \cdot x) = \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

Этап 1.2.2.2.1.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

Этап 1.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1.1

Сократим общий множитель.

$x = \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

Этап 1.2.2.3.1.2

Перепишем это выражение.

$x = 1$

Этап 1.3

Вычислим $y$ , когда $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $1$ вместо $x$ .

$y = \frac{1}{{(1)}^{2}}$

Этап 1.3.2

Подставим $1$ вместо $x$ в $y = \frac{1}{{(1)}^{2}}$ и решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Избавимся от скобок.

$y = \frac{1}{1^{2}}$

Этап 1.3.2.2

Упростим $\frac{1}{1^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$y = \frac{1}{1}$

Этап 1.3.2.2.2

Разделим $1$ на $1$ .

$y = 1$

Этап 1.4

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(1, 1)$

Этап 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{1}^{2} \frac{1}{x} d x - \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $1$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{x} - (\frac{1}{x^{2}}) d x$

Этап 3.2

Умножим $- 1$ на $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 3.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{x} d x + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 3.4

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 3.5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\ln (| x |)]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 3.6

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\ln (| x |)]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 3.6.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 3.6.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} x^{- 2} d x$

Этап 3.7

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{2} - (- x^{- 1}]_{1}^{2})$

Этап 3.8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1.1

Найдем значение $\ln (| x |)$ в $2$ и в $1$ .

$(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |) - (- x^{- 1}]_{1}^{2})$

Этап 3.8.1.2

Найдем значение $- x^{- 1}$ в $2$ и в $1$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Этап 3.8.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1.3.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - (- \frac{1}{2} + 1^{- 1})$

Этап 3.8.1.3.2

Единица в любой степени равна единице.

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - (- \frac{1}{2} + 1)$

Этап 3.8.1.3.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - (- \frac{1}{2} + \frac{2}{2})$

Этап 3.8.1.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - \frac{- 1 + 2}{2}$

Этап 3.8.1.3.5

Добавим $- 1$ и $2$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - \frac{1}{2}$

Этап 3.8.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |}) - \frac{1}{2}$

Этап 3.8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.3.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\ln (\frac{2}{| 1 |}) - \frac{1}{2}$

Этап 3.8.3.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\ln (\frac{2}{1}) - \frac{1}{2}$

Этап 3.8.3.3

Разделим $2$ на $1$ .

$\ln (2) - \frac{1}{2}$

Этап 4