Математический анализ Примеры

$y = \frac{1}{x}$ ; $x = 1$ ; $y = \frac{1}{2}$ ; $x = 0$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$\frac{1}{x} = \frac{1}{2}$

Этап 1.2

Решим $\frac{1}{x} = \frac{1}{2}$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x, 2 + y = \frac{1}{2}$

Этап 1.2.1.2

Since $x, 2$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 2$ then find LCM for the variable part $x^{1}$ .

Этап 1.2.1.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

$1$ перечисляет простые множители каждого числа.

Этап 1.2.1.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 1.2.1.5

Поскольку $2$ не имеет множителей, кроме $1$ и $2$ .

$2$ — простое число

Этап 1.2.1.6

НОК $1, 2$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$2 + y = \frac{1}{2}$

Этап 1.2.1.7

Множителем $x^{1}$ является само значение $x$ .

$x = x$

Этап 1.2.1.8

НОК $x^{1}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$x + y = \frac{1}{2}$

Этап 1.2.1.9

НОК $x, 2$ представляет собой произведение числовой части $2$ и переменной части.

$2 x + y = \frac{1}{2}$

Этап 1.2.2

Каждый член в $\frac{1}{x} = \frac{1}{2}$ умножим на $2 x$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Умножим каждый член $\frac{1}{x} = \frac{1}{2}$ на $2 x$ .

$\frac{1}{x} (2 x) = \frac{1}{2} (2 x)$

Этап 1.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 \frac{1}{x} x = \frac{1}{2} (2 x)$

Этап 1.2.2.2.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{2}{x} x = \frac{1}{2} (2 x)$

Этап 1.2.2.2.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{x} x = \frac{1}{2} (2 x)$

Этап 1.2.2.2.3.2

Перепишем это выражение.

$2 = \frac{1}{2} (2 x)$

Этап 1.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$2 = \frac{1}{2} (2 (x))$

Этап 1.2.2.3.1.2

Сократим общий множитель.

$2 = \frac{1}{2} (2 x)$

Этап 1.2.2.3.1.3

Перепишем это выражение.

$2 = x$

Этап 1.2.3

Перепишем уравнение в виде $x = 2$ .

$x = 2$

Этап 1.3

Подставим $2$ вместо $x$ .

$y = \frac{1}{2}$

Этап 1.4

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(2, \frac{1}{2})$

Этап 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{0}^{1} \frac{1}{x} d x - \int_{0}^{1} \frac{1}{2} d x$

Этап 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $0$ и $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{0}^{1} \frac{1}{x} - (\frac{1}{2}) d x$

Этап 3.2

Умножим $- 1$ на $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{1} \frac{1}{x} - \frac{1}{2} d x$

Этап 3.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{1} \frac{1}{x} d x + \int_{0}^{1} - \frac{1}{2} d x$

Этап 3.4

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |)]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{2} d x$

Этап 3.5

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\ln (| x |)]_{0}^{1} + - \frac{1}{2} x]_{0}^{1}$

Этап 3.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Объединим $\ln (| x |)]_{0}^{1}$ и $- \frac{1}{2} x]_{0}^{1}$ .

$\ln (| x |) - \frac{1}{2} x]_{0}^{1}$

Этап 3.6.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Найдем значение $\ln (| x |) - \frac{1}{2} x$ в $1$ и в $0$ .

$(\ln (| 1 |) - \frac{1}{2} \cdot 1) - (\ln (| 0 |) - \frac{1}{2} \cdot 0)$

Этап 3.6.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\ln (| 1 |) - \frac{1}{2} - (\ln (| 0 |) - \frac{1}{2} \cdot 0)$

Этап 3.6.2.2.2

Умножим $0$ на $- 1$ .

$\ln (| 1 |) - \frac{1}{2} - (\ln (| 0 |) + 0 (\frac{1}{2}))$

Этап 3.6.2.2.3

Умножим $0$ на $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| 1 |) - \frac{1}{2} - (\ln (| 0 |) + 0)$

Этап 3.6.2.2.4

Добавим $\ln (| 0 |)$ и $0$ .

$\ln (| 1 |) - \frac{1}{2} - \ln (| 0 |)$

Этап 3.6.3

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 1 |}{| 0 |}) - \frac{1}{2}$

Этап 3.6.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $0$ равно $0$ .

$\ln (\frac{| 1 |}{0}) - \frac{1}{2}$

Этап 3.6.4.2

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\ln (\frac{| 1 |}{0}) - \frac{1}{2}$

Этап 3.6.5

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\ln (\frac{| 1 |}{0}) - \frac{1}{2}$

Этап 3.7

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

Этап 4