Математический анализ Примеры

$y = \frac{1}{4} x^{2}$ , $y = 5 - x^{2}$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$\frac{1}{4} x^{2} = 5 - x^{2}$

Этап 1.2

Решим $\frac{1}{4} x^{2} = 5 - x^{2}$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Упростим $\frac{1}{4} x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Перепишем.

$0 + 0 + \frac{1}{4} x^{2} = 5 - x^{2}$

Этап 1.2.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$\frac{1}{4} x^{2} = 5 - x^{2}$

Этап 1.2.1.3

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{4} = 5 - x^{2}$

Этап 1.2.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Добавим $x^{2}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{x^{2}}{4} + x^{2} = 5$

Этап 1.2.2.2

Чтобы записать $x^{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x^{2}}{4} + x^{2} \cdot \frac{4}{4} = 5$

Этап 1.2.2.3

Объединим $x^{2}$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{x^{2} \cdot 4}{4} = 5$

Этап 1.2.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x^{2} + x^{2} \cdot 4}{4} = 5$

Этап 1.2.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.5.1

Перенесем $4$ влево от $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 4 \cdot x^{2}}{4} = 5$

Этап 1.2.2.5.2

Добавим $x^{2}$ и $4 x^{2}$ .

$\frac{5 x^{2}}{4} = 5$

Этап 1.2.3

Умножим обе части уравнения на $\frac{4}{5}$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{5 x^{2}}{4} = \frac{4}{5} \cdot 5$

Этап 1.2.4

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1.1

Упростим $\frac{4}{5} \cdot \frac{5 x^{2}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1.1.1

Объединим.

$\frac{4 (5 x^{2})}{5 \cdot 4} = \frac{4}{5} \cdot 5$

Этап 1.2.4.1.1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 (5 x^{2})}{5 \cdot 4} = \frac{4}{5} \cdot 5$

Этап 1.2.4.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{5 x^{2}}{5} = \frac{4}{5} \cdot 5$

Этап 1.2.4.1.1.3

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 x^{2}}{5} = \frac{4}{5} \cdot 5$

Этап 1.2.4.1.1.3.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{4}{5} \cdot 5$

Этап 1.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$x^{2} = \frac{4}{5} \cdot 5$

Этап 1.2.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$x^{2} = 4$

Этап 1.2.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Этап 1.2.6

Упростим $\pm \sqrt{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Этап 1.2.6.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 2$

Этап 1.2.7

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 2$

Этап 1.2.7.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 2$

Этап 1.2.7.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 2, - 2$

Этап 1.3

Вычислим $y$ , когда $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $2$ вместо $x$ .

$y = 5 - {(2)}^{2}$

Этап 1.3.2

Подставим $2$ вместо $x$ в $y = 5 - {(2)}^{2}$ и решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 5 - 2^{2}$

Этап 1.3.2.2

Упростим $5 - 2^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$y = 5 - 1 \cdot 4$

Этап 1.3.2.2.1.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$y = 5 - 4$

Этап 1.3.2.2.2

Вычтем $4$ из $5$ .

$y = 1$

Этап 1.4

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(2, 1)$

$(- 2, 1)$

$(2, 1)$

$(- 2, 1)$

Этап 2

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{4}$

Этап 3

Изменим порядок $5$ и $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 5$

Этап 4

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{- 2}^{2} - x^{2} + 5 d x - \int_{- 2}^{2} \frac{x^{2}}{4} d x$

Этап 5

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{- 2}^{2} - x^{2} + 5 - (\frac{x^{2}}{4}) d x$

Этап 5.2

Чтобы записать $- x^{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\int_{- 2}^{2} - x^{2} \cdot \frac{4}{4} - \frac{x^{2}}{4} + 5 d x$

Этап 5.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Объединим $- x^{2}$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- x^{2} \cdot 4}{4} - \frac{x^{2}}{4} + 5$

Этап 5.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- x^{2} \cdot 4 - x^{2}}{4} + 5$

$\int_{- 2}^{2} \frac{- x^{2} \cdot 4 - x^{2}}{4} + 5 d x$

Этап 5.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- x^{2} \cdot 4 - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- x^{2} \cdot 4$ .

$\frac{x^{2} (- 1 \cdot 4) - x^{2}}{4} + 5$

Этап 5.4.1.1.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- x^{2}$ .

$\frac{x^{2} (- 1 \cdot 4) + x^{2} \cdot - 1}{4} + 5$

Этап 5.4.1.1.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} (- 1 \cdot 4) + x^{2} \cdot - 1$ .

$\frac{x^{2} (- 1 \cdot 4 - 1)}{4} + 5$

Этап 5.4.1.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{x^{2} (- 4 - 1)}{4} + 5$

Этап 5.4.1.3

Вычтем $1$ из $- 4$ .

$\frac{x^{2} \cdot - 5}{4} + 5$

Этап 5.4.2

Перенесем $- 5$ влево от $x^{2}$ .

$\frac{- 5 \cdot x^{2}}{4} + 5$

Этап 5.4.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{5 x^{2}}{4} + 5$

$\int_{- 2}^{2} - \frac{5 x^{2}}{4} + 5 d x$

Этап 5.5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 2}^{2} - \frac{5 x^{2}}{4} d x + \int_{- 2}^{2} 5 d x$

Этап 5.6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int_{- 2}^{2} \frac{5 x^{2}}{4} d x + \int_{- 2}^{2} 5 d x$

Этап 5.7

Поскольку $\frac{5}{4}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{5}{4}$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{5}{4} \int_{- 2}^{2} x^{2} d x) + \int_{- 2}^{2} 5 d x$

Этап 5.8

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- \frac{5}{4} \frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{2} + \int_{- 2}^{2} 5 d x$

Этап 5.9

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- \frac{5}{4} \frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{2} + 5 x]_{- 2}^{2}$

Этап 5.10

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.1

Найдем значение $\frac{1}{3} x^{3}$ в $2$ и в $- 2$ .

$- \frac{5}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 2^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3}) + 5 x]_{- 2}^{2}$

Этап 5.10.2

Найдем значение $5 x$ в $2$ и в $- 2$ .

$- \frac{5}{4} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3}) + 5 \cdot 2 - 5 \cdot - 2$

Этап 5.10.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.3.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$- \frac{5}{4} (\frac{1}{3} \cdot 8 - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3}) + 5 \cdot 2 - 5 \cdot - 2$

Этап 5.10.3.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $8$ .

$- \frac{5}{4} (\frac{8}{3} - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3}) + 5 \cdot 2 - 5 \cdot - 2$

Этап 5.10.3.3

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$- \frac{5}{4} (\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 8) + 5 \cdot 2 - 5 \cdot - 2$

Этап 5.10.3.4

Умножим $- 8$ на $- 1$ .

$- \frac{5}{4} (\frac{8}{3} + 8 (\frac{1}{3})) + 5 \cdot 2 - 5 \cdot - 2$

Этап 5.10.3.5

Объединим $8$ и $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{5}{4} (\frac{8}{3} + \frac{8}{3}) + 5 \cdot 2 - 5 \cdot - 2$

Этап 5.10.3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{5}{4} \cdot \frac{8 + 8}{3} + 5 \cdot 2 - 5 \cdot - 2$

Этап 5.10.3.7

Добавим $8$ и $8$ .

$- \frac{5}{4} \cdot \frac{16}{3} + 5 \cdot 2 - 5 \cdot - 2$

Этап 5.10.3.8

Умножим $\frac{16}{3}$ на $\frac{5}{4}$ .

$- \frac{16 \cdot 5}{3 \cdot 4} + 5 \cdot 2 - 5 \cdot - 2$

Этап 5.10.3.9

Умножим $16$ на $5$ .

$- \frac{80}{3 \cdot 4} + 5 \cdot 2 - 5 \cdot - 2$

Этап 5.10.3.10

Умножим $3$ на $4$ .

$- \frac{80}{12} + 5 \cdot 2 - 5 \cdot - 2$

Этап 5.10.3.11

Сократим общий множитель $80$ и $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.3.11.1

Вынесем множитель $4$ из $80$ .

$- \frac{4 (20)}{12} + 5 \cdot 2 - 5 \cdot - 2$

Этап 5.10.3.11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.3.11.2.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$- \frac{4 \cdot 20}{4 \cdot 3} + 5 \cdot 2 - 5 \cdot - 2$

Этап 5.10.3.11.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{4 \cdot 20}{4 \cdot 3} + 5 \cdot 2 - 5 \cdot - 2$

Этап 5.10.3.11.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{20}{3} + 5 \cdot 2 - 5 \cdot - 2$

Этап 5.10.3.12

Умножим $5$ на $2$ .

$- \frac{20}{3} + 10 - 5 \cdot - 2$

Этап 5.10.3.13

Умножим $- 5$ на $- 2$ .

$- \frac{20}{3} + 10 + 10$

Этап 5.10.3.14

Добавим $10$ и $10$ .

$- \frac{20}{3} + 20$

Этап 5.10.3.15

Чтобы записать $20$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{20}{3} + 20 \cdot \frac{3}{3}$

Этап 5.10.3.16

Объединим $20$ и $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{20}{3} + \frac{20 \cdot 3}{3}$

Этап 5.10.3.17

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 20 + 20 \cdot 3}{3}$

Этап 5.10.3.18

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.3.18.1

Умножим $20$ на $3$ .

$\frac{- 20 + 60}{3}$

Этап 5.10.3.18.2

Добавим $- 20$ и $60$ .

$\frac{40}{3}$

Этап 6