Математический анализ Примеры

$x = 4$ , $x = - 4$ , $y = - \sqrt{16 - x^{2}}$ , $y = \sqrt{16 - x^{2}}$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$- \sqrt{16 - x^{2}} = \sqrt{16 - x^{2}}$

Этап 1.2

Решим $- \sqrt{16 - x^{2}} = \sqrt{16 - x^{2}}$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Решим относительно $\sqrt{16 - x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Перенесем все члены с $\sqrt{16 - x^{2}}$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1.1

Вычтем $\sqrt{16 - x^{2}}$ из обеих частей уравнения.

$- \sqrt{16 - x^{2}} - \sqrt{16 - x^{2}} = 0$

Этап 1.2.1.1.2

Вычтем $\sqrt{16 - x^{2}}$ из $- \sqrt{16 - x^{2}}$ .

$- 2 \sqrt{16 - x^{2}} = 0$

Этап 1.2.1.2

Разделим каждый член $- 2 \sqrt{16 - x^{2}} = 0$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.2.1

Разделим каждый член $- 2 \sqrt{16 - x^{2}} = 0$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 \sqrt{16 - x^{2}}}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Этап 1.2.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.2.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 \sqrt{16 - x^{2}}}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Этап 1.2.1.2.2.1.2

Разделим $\sqrt{16 - x^{2}}$ на $1$ .

$\sqrt{16 - x^{2}} = \frac{0}{- 2}$

Этап 1.2.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.2.3.1

Разделим $0$ на $- 2$ .

$\sqrt{16 - x^{2}} = 0$

Этап 1.2.2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{16 - x^{2}}}^{2} = 0^{2}$

Этап 1.2.3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{16 - x^{2}}$ в виде ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 1.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Упростим ${({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 1.2.3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 1.2.3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(16 - x^{2})}^{1} = 0^{2}$

Этап 1.2.3.2.1.2

Упростим.

$16 - x^{2} = 0^{2}$

Этап 1.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$16 - x^{2} = 0$

Этап 1.2.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Вычтем $16$ из обеих частей уравнения.

$- x^{2} = - 16$

Этап 1.2.4.2

Разделим каждый член $- x^{2} = - 16$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Разделим каждый член $- x^{2} = - 16$ на $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 16}{- 1}$

Этап 1.2.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 16}{- 1}$

Этап 1.2.4.2.2.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 16}{- 1}$

Этап 1.2.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.3.1

Разделим $- 16$ на $- 1$ .

$x^{2} = 16$

Этап 1.2.4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{16}$

Этап 1.2.4.4

Упростим $\pm \sqrt{16}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.4.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

Этап 1.2.4.4.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 4$

Этап 1.2.4.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 4$

Этап 1.2.4.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 4$

Этап 1.2.4.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 4, - 4$

Этап 1.3

Вычислим $y$ , когда $x = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $4$ вместо $x$ .

$y = \sqrt{16 - {(4)}^{2}}$

Этап 1.3.2

Упростим $\sqrt{16 - {(4)}^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$y = \sqrt{16 - 1 \cdot 16}$

Этап 1.3.2.2

Умножим $- 1$ на $16$ .

$y = \sqrt{16 - 16}$

Этап 1.3.2.3

Вычтем $16$ из $16$ .

$y = \sqrt{0}$

Этап 1.3.2.4

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$y = \sqrt{0^{2}}$

Этап 1.3.2.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$y = 0$

Этап 1.4

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(4, 0)$

$(- 4, 0)$

$(4, 0)$

$(- 4, 0)$

Этап 2

Упростим $- \sqrt{16 - x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$y = - \sqrt{4^{2} - x^{2}}$

Этап 2.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 4$ и $b = x$ .

$y = - \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$

Этап 3

Упростим $\sqrt{16 - x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$y = \sqrt{4^{2} - x^{2}}$

Этап 3.2

$y = \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$

Этап 4

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{- 4}^{4} \sqrt{(4 + x) (4 - x)} d x - \int_{- 4}^{4} - \sqrt{(4 + x) (4 - x)} d x$

Этап 5

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $- 4$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{- 4}^{4} \sqrt{(4 + x) (4 - x)} - (- \sqrt{(4 + x) (4 - x)}) d x$

Этап 5.2

Умножим $- (- \sqrt{(4 + x) (4 - x)})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\sqrt{(4 + x) (4 - x)} + 1 \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$

Этап 5.2.2

Умножим $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ на $1$ .

$\sqrt{(4 + x) (4 - x)} + \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$

$\int_{- 4}^{4} \sqrt{(4 + x) (4 - x)} + \sqrt{(4 + x) (4 - x)} d x$

Этап 5.3

Добавим $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ и $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ .

$\int_{- 4}^{4} 2 \sqrt{(4 + x) (4 - x)} d x$

Этап 5.4

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int_{- 4}^{4} \sqrt{(4 + x) (4 - x)} d x$

Этап 5.5

Составим полный квадрат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.1

Развернем $(4 + x) (4 - x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 (4 - x) + x (4 - x)$

Этап 5.5.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 \cdot 4 + 4 (- x) + x (4 - x)$

Этап 5.5.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 \cdot 4 + 4 (- x) + x \cdot 4 + x (- x)$

Этап 5.5.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.2.1.1

Умножим $4$ на $4$ .

$16 + 4 (- x) + x \cdot 4 + x (- x)$

Этап 5.5.1.2.1.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$16 - 4 x + x \cdot 4 + x (- x)$

Этап 5.5.1.2.1.3

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$16 - 4 x + 4 \cdot x + x (- x)$

Этап 5.5.1.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$16 - 4 x + 4 x - x \cdot x$

Этап 5.5.1.2.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.2.1.5.1

Перенесем $x$ .

$16 - 4 x + 4 x - (x \cdot x)$

Этап 5.5.1.2.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$16 - 4 x + 4 x - x^{2}$

Этап 5.5.1.2.2

Добавим $- 4 x$ и $4 x$ .

$16 + 0 - x^{2}$

Этап 5.5.1.2.3

Добавим $16$ и $0$ .

$16 - x^{2}$

Этап 5.5.1.3

Изменим порядок $16$ и $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 16$

Этап 5.5.2

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - 1$

$b = 0$

$c = 16$

Этап 5.5.3

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 5.5.4

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 \cdot - 1}$

Этап 5.5.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.2.1

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot - 1}$

Этап 5.5.4.2.1.2

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{0}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 0$

Этап 5.5.4.2.2

Перепишем $- 1 \cdot 0$ в виде $- 0$ .

$d = - 0$

Этап 5.5.4.2.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$d = 0$

Этап 5.5.5

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.5.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 16 - \frac{0^{2}}{4 \cdot - 1}$

Этап 5.5.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.5.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$e = 16 - \frac{0}{4 \cdot - 1}$

Этап 5.5.5.2.1.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$e = 16 - \frac{0}{- 4}$

Этап 5.5.5.2.1.3

Разделим $0$ на $- 4$ .

$e = 16 - 0$

Этап 5.5.5.2.1.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$e = 16 + 0$

Этап 5.5.5.2.2

Добавим $16$ и $0$ .

$e = 16$

Этап 5.5.6

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- {(x + 0)}^{2} + 16$ .

$2 \int_{- 4}^{4} \sqrt{- {(x + 0)}^{2} + 16} d x$

Этап 5.6

Пусть $u_{1} = x + 0$ . Тогда $d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Пусть $u_{1} = x + 0$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.1

Дифференцируем $x + 0$ .

$\frac{d}{d x} [x + 0]$

Этап 5.6.1.2

По правилу суммы производная $x + 0$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [0]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [0]$

Этап 5.6.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [0]$

Этап 5.6.1.4

Поскольку $0$ является константой относительно $x$ , производная $0$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 5.6.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 5.6.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u_{1} = x + 0$ .

$u_{lower} = - 4 + 0$

Этап 5.6.3

Добавим $- 4$ и $0$ .

$u_{lower} = - 4$

Этап 5.6.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u_{1} = x + 0$ .

$u_{upper} = 4 + 0$

Этап 5.6.5

Добавим $4$ и $0$ .

$u_{upper} = 4$

Этап 5.6.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = - 4$

$u_{upper} = 4$

Этап 5.6.7

Переформулируем задачу, используя $u_{1}$ , $d u_{1}$ и новые пределы интегрирования.

$2 \int_{- 4}^{4} \sqrt{- {u_{1}}^{2} + 16} d u_{1}$

Этап 5.7

Пусть $u_{1} = 4 \sin (t)$ , где $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Тогда $d u_{1} = 4 \cos (t) d t$ . Заметим, что поскольку $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , выражение $4 \cos (t)$ положительно.

$2 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{- {(4 \sin (t))}^{2} + 16} (4 \cos (t)) d t$

Этап 5.8

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1

Упростим $\sqrt{- {(4 \sin (t))}^{2} + 16}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1.1.1

Применим правило умножения к $4 \sin (t)$ .

$2 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{- (4^{2} \sin^{2} (t)) + 16} (4 \cos (t)) d t$

Этап 5.8.1.1.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$2 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{- (16 \sin^{2} (t)) + 16} (4 \cos (t)) d t$

Этап 5.8.1.1.3

Умножим $16$ на $- 1$ .

$2 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{- 16 \sin^{2} (t) + 16} (4 \cos (t)) d t$

Этап 5.8.1.2

Изменим порядок $- 16 \sin^{2} (t)$ и $16$ .

$2 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{16 - 16 \sin^{2} (t)} (4 \cos (t)) d t$

Этап 5.8.1.3

Вынесем множитель $16$ из $16$ .

$2 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{16 (1) - 16 \sin^{2} (t)} (4 \cos (t)) d t$

Этап 5.8.1.4

Вынесем множитель $16$ из $- 16 \sin^{2} (t)$ .

$2 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{16 (1) + 16 (- \sin^{2} (t))} (4 \cos (t)) d t$

Этап 5.8.1.5

Вынесем множитель $16$ из $16 (1) + 16 (- \sin^{2} (t))$ .

$2 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{16 (1 - \sin^{2} (t))} (4 \cos (t)) d t$

Этап 5.8.1.6

Применим формулу Пифагора.

$2 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{16 \cos^{2} (t)} (4 \cos (t)) d t$

Этап 5.8.1.7

Перепишем $16 \cos^{2} (t)$ в виде ${(4 \cos (t))}^{2}$ .

$2 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{{(4 \cos (t))}^{2}} (4 \cos (t)) d t$

Этап 5.8.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$2 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 4 \cos (t) (4 \cos (t)) d t$

Этап 5.8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.2.1

Умножим $4$ на $4$ .

$2 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 16 \cos (t) \cos (t) d t$

Этап 5.8.2.2

Возведем $\cos (t)$ в степень $1$ .

$2 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 16 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

Этап 5.8.2.3

Возведем $\cos (t)$ в степень $1$ .

$2 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 16 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

Этап 5.8.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 16 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Этап 5.8.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$2 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 16 \cos^{2} (t) d t$

Этап 5.9

Поскольку $16$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $16$ из-под знака интеграла.

$2 (16 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t)$

Этап 5.10

Умножим $16$ на $2$ .

$32 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t$

Этап 5.11

Используем формулу половинного угла для записи $\cos^{2} (t)$ в виде $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$32 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Этап 5.12

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$32 (\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t)$

Этап 5.13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.13.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $32$ .

$\frac{32}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Этап 5.13.2

Сократим общий множитель $32$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.13.2.1

Вынесем множитель $2$ из $32$ .

$\frac{2 \cdot 16}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Этап 5.13.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.13.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot 16}{2 (1)} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Этап 5.13.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 16}{2 \cdot 1} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Этап 5.13.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{16}{1} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Этап 5.13.2.2.4

Разделим $16$ на $1$ .

$16 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Этап 5.14

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$16 (\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} d t + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Этап 5.15

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$16 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Этап 5.16

Пусть $u_{2} = 2 t$ . Тогда $d u_{2} = 2 d t$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{2} = d t$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.16.1

Пусть $u_{2} = 2 t$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.16.1.1

Дифференцируем $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Этап 5.16.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $t$ , производная $2 t$ по $t$ равна $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Этап 5.16.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 5.16.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 5.16.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $t$ в $u_{2} = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 (- \frac{π}{2})$

Этап 5.16.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.16.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{π}{2}$ в числитель.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Этап 5.16.3.2

Сократим общий множитель.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Этап 5.16.3.3

Перепишем это выражение.

$u_{lower} = - π$

Этап 5.16.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $t$ в $u_{2} = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Этап 5.16.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.16.5.1

Сократим общий множитель.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Этап 5.16.5.2

Перепишем это выражение.

$u_{upper} = π$

Этап 5.16.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = - π$

$u_{upper} = π$

Этап 5.16.7

Переформулируем задачу, используя $u_{2}$ , $d u_{2}$ и новые пределы интегрирования.

$16 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Этап 5.17

Объединим $\cos (u_{2})$ и $\frac{1}{2}$ .

$16 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Этап 5.18

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$16 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{- π}^{π} \cos (u_{2}) d u_{2})$

Этап 5.19

Интеграл $\cos (u_{2})$ по $u_{2}$ имеет вид $\sin (u_{2})$ .

$16 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{- π}^{π})$

Этап 5.20

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sin (u_{2})]_{- π}^{π}$ .

$16 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{\sin (u_{2})]_{- π}^{π}}{2})$

Этап 5.21

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.21.1

Найдем значение $t$ в $\frac{π}{2}$ и в $- \frac{π}{2}$ .

$16 ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{\sin (u_{2})]_{- π}^{π}}{2})$

Этап 5.21.2

Найдем значение $\sin (u_{2})$ в $π$ и в $- π$ .

$16 ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Этап 5.21.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.21.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$16 (\frac{π + π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Этап 5.21.3.2

Добавим $π$ и $π$ .

$16 (\frac{2 π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Этап 5.21.3.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.21.3.3.1

Сократим общий множитель.

$16 (\frac{2 π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Этап 5.21.3.3.2

Разделим $π$ на $1$ .

$16 (π + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

$16 (π + \frac{\sin (π) - \sin (- π)}{2})$

Этап 5.22

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.22.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.22.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$16 (π + \frac{\sin (0) - \sin (- π)}{2})$

Этап 5.22.1.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$16 (π + \frac{0 - \sin (- π)}{2})$

Этап 5.22.1.3

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$16 (π + \frac{0 - \sin (0)}{2})$

Этап 5.22.1.4

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$16 (π + \frac{0 - 0}{2})$

Этап 5.22.1.5

Умножим $- 1$ на $0$ .

$16 (π + \frac{0 + 0}{2})$

Этап 5.22.1.6

Добавим $0$ и $0$ .

$16 (π + \frac{0}{2})$

Этап 5.22.2

Разделим $0$ на $2$ .

$16 (π + 0)$

Этап 5.23

Добавим $π$ и $0$ .

$16 π$

Этап 6