Математический анализ Примеры

$y = x + 1$ , $y = 0$ , $x = 0$ , $x = 7$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$x + 1 = 0$

Этап 1.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 1.3

Подставим $- 1$ вместо $x$ .

$y = 0$

Этап 1.4

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(- 1, 0)$

Этап 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{0}^{7} x + 1 d x - \int_{0}^{7} 0 d x$

Этап 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $0$ и $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{0}^{7} x + 1 - (0) d x$

Этап 3.2

Вычтем $0$ из $x + 1$ .

$\int_{0}^{7} x + 1 d x$

Этап 3.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{7} x d x + \int_{0}^{7} d x$

Этап 3.4

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{7} + \int_{0}^{7} d x$

Этап 3.5

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{7} + x]_{0}^{7}$

Этап 3.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Объединим $\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{7}$ и $x]_{0}^{7}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + x]_{0}^{7}$

Этап 3.6.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Найдем значение $\frac{1}{2} x^{2} + x$ в $7$ и в $0$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 7) - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

Этап 3.6.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.1

Возведем $7$ в степень $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 49 + 7 - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

Этап 3.6.2.2.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $49$ .

$\frac{49}{2} + 7 - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

Этап 3.6.2.2.3

Чтобы записать $7$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{49}{2} + 7 \cdot \frac{2}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

Этап 3.6.2.2.4

Объединим $7$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{49}{2} + \frac{7 \cdot 2}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

Этап 3.6.2.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{49 + 7 \cdot 2}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

Этап 3.6.2.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.6.1

Умножим $7$ на $2$ .

$\frac{49 + 14}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

Этап 3.6.2.2.6.2

Добавим $49$ и $14$ .

$\frac{63}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0)$

Этап 3.6.2.2.7

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{63}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 0 + 0)$

Этап 3.6.2.2.8

Умножим $\frac{1}{2}$ на $0$ .

$\frac{63}{2} - (0 + 0)$

Этап 3.6.2.2.9

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{63}{2} - 0$

Этап 3.6.2.2.10

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{63}{2} + 0$

Этап 3.6.2.2.11

Добавим $\frac{63}{2}$ и $0$ .

$\frac{63}{2}$

Этап 4