Математический анализ Примеры

$y = 5 \sqrt[3]{x}$ , $y = 0$ , $x = 1$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$5 \sqrt[3]{x} = 0$

Этап 1.2

Решим $5 \sqrt[3]{x} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в куб.

${(5 \sqrt[3]{x})}^{3} = 0^{3}$

Этап 1.2.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(5 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 1.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Упростим ${(5 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.1

Применим правило умножения к $5 x^{\frac{1}{3}}$ .

$5^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 1.2.2.2.1.2

Возведем $5$ в степень $3$ .

$125 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 1.2.2.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$125 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Этап 1.2.2.2.1.3.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$125 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Этап 1.2.2.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$125 x^{1} = 0^{3}$

Этап 1.2.2.2.1.4

Упростим.

$125 x = 0^{3}$

Этап 1.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$125 x = 0$

Этап 1.2.3

Разделим каждый член $125 x = 0$ на $125$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Разделим каждый член $125 x = 0$ на $125$ .

$\frac{125 x}{125} = \frac{0}{125}$

Этап 1.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Сократим общий множитель $125$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{125 x}{125} = \frac{0}{125}$

Этап 1.2.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{125}$

Этап 1.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.1

Разделим $0$ на $125$ .

$x = 0$

Этап 1.3

Подставим $0$ вместо $x$ .

$y = 0$

Этап 1.4

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(0, 0)$

Этап 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{0}^{1} 5 \sqrt[3]{x} d x - \int_{0}^{1} 0 d x$

Этап 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $0$ и $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{0}^{1} 5 \sqrt[3]{x} - (0) d x$

Этап 3.2

Вычтем $0$ из $5 \sqrt[3]{x}$ .

$\int_{0}^{1} 5 \sqrt[3]{x} d x$

Этап 3.3

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$5 \int_{0}^{1} \sqrt[3]{x} d x$

Этап 3.4

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

$5 \int_{0}^{1} x^{\frac{1}{3}} d x$

Этап 3.5

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$5 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{0}^{1})$

Этап 3.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Объединим $\frac{3}{4}$ и $x^{\frac{4}{3}}$ .

$5 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4}]_{0}^{1})$

Этап 3.6.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Найдем значение $\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4}$ в $1$ и в $0$ .

$5 ((\frac{3 \cdot 1^{\frac{4}{3}}}{4}) - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4})$

Этап 3.6.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$5 (\frac{3 \cdot 1}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4})$

Этап 3.6.2.2.2

Умножим $3$ на $1$ .

$5 (\frac{3}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4})$

Этап 3.6.2.2.3

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$5 (\frac{3}{4} - \frac{3 \cdot {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}}{4})$

Этап 3.6.2.2.4

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 (\frac{3}{4} - \frac{3 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}{4})$

Этап 3.6.2.2.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.5.1

Сократим общий множитель.

$5 (\frac{3}{4} - \frac{3 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}{4})$

Этап 3.6.2.2.5.2

Перепишем это выражение.

$5 (\frac{3}{4} - \frac{3 \cdot 0^{4}}{4})$

Этап 3.6.2.2.6

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$5 (\frac{3}{4} - \frac{3 \cdot 0}{4})$

Этап 3.6.2.2.7

Умножим $3$ на $0$ .

$5 (\frac{3}{4} - \frac{0}{4})$

Этап 3.6.2.2.8

Сократим общий множитель $0$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.8.1

Вынесем множитель $4$ из $0$ .

$5 (\frac{3}{4} - \frac{4 (0)}{4})$

Этап 3.6.2.2.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.8.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$5 (\frac{3}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Этап 3.6.2.2.8.2.2

Сократим общий множитель.

$5 (\frac{3}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Этап 3.6.2.2.8.2.3

Перепишем это выражение.

$5 (\frac{3}{4} - \frac{0}{1})$

Этап 3.6.2.2.8.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$5 (\frac{3}{4} - 0)$

Этап 3.6.2.2.9

Умножим $- 1$ на $0$ .

$5 (\frac{3}{4} + 0)$

Этап 3.6.2.2.10

Добавим $\frac{3}{4}$ и $0$ .

$5 (\frac{3}{4})$

Этап 3.6.2.2.11

Объединим $5$ и $\frac{3}{4}$ .

$\frac{5 \cdot 3}{4}$

Этап 3.6.2.2.12

Умножим $5$ на $3$ .

$\frac{15}{4}$

Этап 4