Математический анализ Примеры

$y = 8$ , $y = \sqrt{x}$ , $x = 0$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$8 = \sqrt{x}$

Этап 1.2

Решим $8 = \sqrt{x}$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем уравнение в виде $\sqrt{x} = 8$ .

$\sqrt{x} = 8$

Этап 1.2.2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{x}}^{2} = 8^{2}$

Этап 1.2.3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 8^{2}$

Этап 1.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Упростим ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 8^{2}$

Этап 1.2.3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 8^{2}$

Этап 1.2.3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} = 8^{2}$

Этап 1.2.3.2.1.2

Упростим.

$x = 8^{2}$

Этап 1.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$x = 64$

Этап 1.3

Вычислим $y$ , когда $x = 64$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $64$ вместо $x$ .

$y = \sqrt{64}$

Этап 1.3.2

Упростим $\sqrt{64}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Избавимся от скобок.

$y = \sqrt{64}$

Этап 1.3.2.2

Перепишем $64$ в виде $8^{2}$ .

$y = \sqrt{8^{2}}$

Этап 1.3.2.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$y = 8$

Этап 1.4

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(64, 8)$

Этап 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{0}^{64} 8 d x - \int_{0}^{64} \sqrt{x} d x$

Этап 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $0$ и $64$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $0$ и $64$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{0}^{64} \sqrt{x} - (8) d x$

Этап 3.1.2

Умножим $- 1$ на $8$ .

$\int_{0}^{64} \sqrt{x} - 8 d x$

Этап 3.1.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{64} \sqrt{x} d x + \int_{0}^{64} - 8 d x$

Этап 3.1.4

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{64} x^{\frac{1}{2}} d x + \int_{0}^{64} - 8 d x$

Этап 3.1.5

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{64} + \int_{0}^{64} - 8 d x$

Этап 3.1.6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{64} + - 8 x]_{0}^{64}$

Этап 3.1.7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.7.1

Объединим $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{64}$ и $- 8 x]_{0}^{64}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - 8 x]_{0}^{64}$

Этап 3.1.7.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.7.2.1

Найдем значение $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - 8 x$ в $64$ и в $0$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 64^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 64) - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Этап 3.1.7.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.7.2.2.1

Перепишем $64$ в виде $8^{2}$ .

$\frac{2}{3} \cdot {(8^{2})}^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 64 - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Этап 3.1.7.2.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \cdot 8^{2 (\frac{3}{2})} - 8 \cdot 64 - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Этап 3.1.7.2.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.7.2.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{3} \cdot 8^{2 (\frac{3}{2})} - 8 \cdot 64 - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Этап 3.1.7.2.2.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{3} \cdot 8^{3} - 8 \cdot 64 - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Этап 3.1.7.2.2.4

Возведем $8$ в степень $3$ .

$\frac{2}{3} \cdot 512 - 8 \cdot 64 - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Этап 3.1.7.2.2.5

Объединим $\frac{2}{3}$ и $512$ .

$\frac{2 \cdot 512}{3} - 8 \cdot 64 - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Этап 3.1.7.2.2.6

Умножим $2$ на $512$ .

$\frac{1024}{3} - 8 \cdot 64 - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Этап 3.1.7.2.2.7

Умножим $- 8$ на $64$ .

$\frac{1024}{3} - 512 - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Этап 3.1.7.2.2.8

Чтобы записать $- 512$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1024}{3} - 512 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Этап 3.1.7.2.2.9

Объединим $- 512$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1024}{3} + \frac{- 512 \cdot 3}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Этап 3.1.7.2.2.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1024 - 512 \cdot 3}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Этап 3.1.7.2.2.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.7.2.2.11.1

Умножим $- 512$ на $3$ .

$\frac{1024 - 1536}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Этап 3.1.7.2.2.11.2

Вычтем $1536$ из $1024$ .

$\frac{- 512}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Этап 3.1.7.2.2.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{512}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Этап 3.1.7.2.2.13

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$- \frac{512}{3} - (\frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Этап 3.1.7.2.2.14

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{512}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - 8 \cdot 0)$

Этап 3.1.7.2.2.15

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.7.2.2.15.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{512}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - 8 \cdot 0)$

Этап 3.1.7.2.2.15.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{512}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 0^{3} - 8 \cdot 0)$

Этап 3.1.7.2.2.16

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{512}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 0 - 8 \cdot 0)$

Этап 3.1.7.2.2.17

Умножим $\frac{2}{3}$ на $0$ .

$- \frac{512}{3} - (0 - 8 \cdot 0)$

Этап 3.1.7.2.2.18

Умножим $- 8$ на $0$ .

$- \frac{512}{3} - (0 + 0)$

Этап 3.1.7.2.2.19

Добавим $0$ и $0$ .

$- \frac{512}{3} - 0$

Этап 3.1.7.2.2.20

Умножим $- 1$ на $0$ .

$- \frac{512}{3} + 0$

Этап 3.1.7.2.2.21

Добавим $- \frac{512}{3}$ и $0$ .

$- \frac{512}{3}$

Этап 3.2

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{0}^{64} 8 - (\sqrt{x}) d x$

Этап 3.3

Умножим $- 1$ на $\sqrt{x}$ .

$\int_{0}^{64} 8 - \sqrt{x} d x$

Этап 3.4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{64} 8 d x + \int_{0}^{64} - \sqrt{x} d x$

Этап 3.5

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$8 x]_{0}^{64} + \int_{0}^{64} - \sqrt{x} d x$

Этап 3.6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$8 x]_{0}^{64} - \int_{0}^{64} \sqrt{x} d x$

Этап 3.7

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$8 x]_{0}^{64} - \int_{0}^{64} x^{\frac{1}{2}} d x$

Этап 3.8

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$8 x]_{0}^{64} - (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{64})$

Этап 3.9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $x^{\frac{3}{2}}$ .

$8 x]_{0}^{64} - (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{64})$

Этап 3.9.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.1

Найдем значение $8 x$ в $64$ и в $0$ .

$(8 \cdot 64) - 8 \cdot 0 - (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{64})$

Этап 3.9.2.2

Найдем значение $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ в $64$ и в $0$ .

$8 \cdot 64 - 8 \cdot 0 - (\frac{2 \cdot 64^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 3.9.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.3.1

Умножим $8$ на $64$ .

$512 - 8 \cdot 0 - (\frac{2 \cdot 64^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 3.9.2.3.2

Умножим $- 8$ на $0$ .

$512 + 0 - (\frac{2 \cdot 64^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 3.9.2.3.3

Добавим $512$ и $0$ .

$512 - (\frac{2 \cdot 64^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 3.9.2.3.4

Перепишем $64$ в виде $8^{2}$ .

$512 - (\frac{2 \cdot {(8^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 3.9.2.3.5

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$512 - (\frac{2 \cdot 8^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 3.9.2.3.6

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.3.6.1

Сократим общий множитель.

$512 - (\frac{2 \cdot 8^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 3.9.2.3.6.2

Перепишем это выражение.

$512 - (\frac{2 \cdot 8^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 3.9.2.3.7

Возведем $8$ в степень $3$ .

$512 - (\frac{2 \cdot 512}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 3.9.2.3.8

Умножим $2$ на $512$ .

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 3.9.2.3.9

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Этап 3.9.2.3.10

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

Этап 3.9.2.3.11

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.3.11.1

Сократим общий множитель.

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

Этап 3.9.2.3.11.2

Перепишем это выражение.

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot 0^{3}}{3})$

Этап 3.9.2.3.12

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot 0}{3})$

Этап 3.9.2.3.13

Умножим $2$ на $0$ .

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{0}{3})$

Этап 3.9.2.3.14

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.3.14.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

Этап 3.9.2.3.14.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.3.14.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Этап 3.9.2.3.14.2.2

Сократим общий множитель.

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Этап 3.9.2.3.14.2.3

Перепишем это выражение.

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{0}{1})$

Этап 3.9.2.3.14.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$512 - (\frac{1024}{3} - 0)$

Этап 3.9.2.3.15

Умножим $- 1$ на $0$ .

$512 - (\frac{1024}{3} + 0)$

Этап 3.9.2.3.16

Добавим $\frac{1024}{3}$ и $0$ .

$512 - \frac{1024}{3}$

Этап 3.9.2.3.17

Чтобы записать $512$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$512 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1024}{3}$

Этап 3.9.2.3.18

Объединим $512$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{512 \cdot 3}{3} - \frac{1024}{3}$

Этап 3.9.2.3.19

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{512 \cdot 3 - 1024}{3}$

Этап 3.9.2.3.20

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.3.20.1

Умножим $512$ на $3$ .

$\frac{1536 - 1024}{3}$

Этап 3.9.2.3.20.2

Вычтем $1024$ из $1536$ .

$\frac{512}{3}$

Этап 4