Математический анализ Примеры

$y = x^{2}$ , $y = 2 x - 2$ , $x = 1$ , $x = 2$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$x^{2} = 2 x - 2$

Этап 1.2

Решим $x^{2} = 2 x - 2$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычтем $2 x$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 2 x = - 2$

Этап 1.2.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} - 2 x + 2 = 0$

Этап 1.2.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} + y = 2 x - 2$

Этап 1.2.4

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 2$ и $c = 2$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1} + y = 2 x - 2$

Этап 1.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.1.3

Вычтем $8$ из $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.1.4

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (4)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.1.7

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2}$

Этап 1.2.5.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 1 \pm i$

Этап 1.2.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.6.1.2.2

Умножим $- 4$ на $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.6.1.3

Вычтем $8$ из $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.6.1.4

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.6.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (4)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.6.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.6.1.7

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.6.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.6.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.6.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2}$

Этап 1.2.6.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 1 \pm i$

Этап 1.2.6.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = 1 + i$

Этап 1.2.7

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.7.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.7.1.2.2

Умножим $- 4$ на $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.7.1.3

Вычтем $8$ из $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.7.1.4

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.7.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (4)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.7.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.7.1.7

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.7.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.7.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.7.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2}$

Этап 1.2.7.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 1 \pm i$

Этап 1.2.7.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = 1 - i$

Этап 1.2.8

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = 1 + i, 1 - i$

Этап 1.3

Вычислим $y$ , когда $x = 1 + i$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $1 + i$ вместо $x$ .

$y = 2 (1 + i) - 2$

Этап 1.3.2

Упростим $2 (1 + i) - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = 2 \cdot 1 + 2 i - 2$

Этап 1.3.2.1.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = 2 + 2 i - 2$

Этап 1.3.2.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1

Вычтем $2$ из $2$ .

$y = 0 + 2 i$

Этап 1.3.2.2.2

Добавим $0$ и $2 i$ .

$y = 2 i$

Этап 1.4

Вычислим $y$ , когда $x = 1 - i$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Подставим $1 - i$ вместо $x$ .

$y = 2 (1 - i) - 2$

Этап 1.4.2

Упростим $2 (1 - i) - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = 2 \cdot 1 + 2 (- i) - 2$

Этап 1.4.2.1.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = 2 + 2 (- i) - 2$

Этап 1.4.2.1.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$y = 2 - 2 i - 2$

Этап 1.4.2.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1

Вычтем $2$ из $2$ .

$y = 0 - 2 i$

Этап 1.4.2.2.2

Вычтем $2 i$ из $0$ .

$y = - 2 i$

Этап 1.5

Перечислим все решения.

$y = 2 i, x = 1 + i$

$y = - 2 i, x = 1 - i$

$y = 2 i, x = 1 + i$

$y = - 2 i, x = 1 - i$

Этап 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{1}^{2} x^{2} d x - \int_{1}^{2} 2 x - 2 d x$

Этап 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $1$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{1}^{2} x^{2} - (2 x - 2) d x$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} - (2 x) - - 2$

Этап 3.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x^{2} - 2 x - - 2$

Этап 3.2.3

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$x^{2} - 2 x + 2$

$\int_{1}^{2} x^{2} - 2 x + 2 d x$

Этап 3.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{1}^{2} x^{2} d x + \int_{1}^{2} - 2 x d x + \int_{1}^{2} 2 d x$

Этап 3.4

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} - 2 x d x + \int_{1}^{2} 2 d x$

Этап 3.5

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2} - 2 \int_{1}^{2} x d x + \int_{1}^{2} 2 d x$

Этап 3.6

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2} - 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} 2 d x$

Этап 3.7

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2} - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} 2 d x$

Этап 3.8

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2} - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) + 2 x]_{1}^{2}$

Этап 3.9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Объединим $\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2}$ и $2 x]_{1}^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + 2 x]_{1}^{2} - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2})$

Этап 3.9.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.1

Найдем значение $\frac{1}{3} x^{3} + 2 x$ в $2$ и в $1$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 2 \cdot 2) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1) - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2})$

Этап 3.9.2.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $2$ и в $1$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 2 \cdot 2) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 3.9.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.3.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 8 + 2 \cdot 2 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 3.9.2.3.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $8$ .

$\frac{8}{3} + 2 \cdot 2 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 3.9.2.3.3

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{8}{3} + 4 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 3.9.2.3.4

Чтобы записать $4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} + 4 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 3.9.2.3.5

Объединим $4$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 3.9.2.3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{8 + 4 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 3.9.2.3.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.3.7.1

Умножим $4$ на $3$ .

$\frac{8 + 12}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 3.9.2.3.7.2

Добавим $8$ и $12$ .

$\frac{20}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 3.9.2.3.8

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{20}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 \cdot 1) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 3.9.2.3.9

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$\frac{20}{3} - (\frac{1}{3} + 2 \cdot 1) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 3.9.2.3.10

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{20}{3} - (\frac{1}{3} + 2) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 3.9.2.3.11

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{20}{3} - (\frac{1}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 3.9.2.3.12

Объединим $2$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{20}{3} - (\frac{1}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 3.9.2.3.13

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{20}{3} - \frac{1 + 2 \cdot 3}{3} - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 3.9.2.3.14

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.3.14.1

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{20}{3} - \frac{1 + 6}{3} - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 3.9.2.3.14.2

Добавим $1$ и $6$ .

$\frac{20}{3} - \frac{7}{3} - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 3.9.2.3.15

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{20 - 7}{3} - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 3.9.2.3.16

Вычтем $7$ из $20$ .

$\frac{13}{3} - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 3.9.2.3.17

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{13}{3} - 2 (\frac{4}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 3.9.2.3.18

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.3.18.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{13}{3} - 2 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 3.9.2.3.18.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.3.18.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{13}{3} - 2 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 3.9.2.3.18.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{13}{3} - 2 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 3.9.2.3.18.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{13}{3} - 2 (\frac{2}{1} - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 3.9.2.3.18.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$\frac{13}{3} - 2 (2 - \frac{1^{2}}{2})$

Этап 3.9.2.3.19

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{13}{3} - 2 (2 - \frac{1}{2})$

Этап 3.9.2.3.20

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{13}{3} - 2 (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2})$

Этап 3.9.2.3.21

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{13}{3} - 2 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2})$

Этап 3.9.2.3.22

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{13}{3} - 2 \frac{2 \cdot 2 - 1}{2}$

Этап 3.9.2.3.23

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.3.23.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{13}{3} - 2 \frac{4 - 1}{2}$

Этап 3.9.2.3.23.2

Вычтем $1$ из $4$ .

$\frac{13}{3} - 2 (\frac{3}{2})$

Этап 3.9.2.3.24

Объединим $- 2$ и $\frac{3}{2}$ .

$\frac{13}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{2}$

Этап 3.9.2.3.25

Умножим $- 2$ на $3$ .

$\frac{13}{3} + \frac{- 6}{2}$

Этап 3.9.2.3.26

Сократим общий множитель $- 6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.3.26.1

Вынесем множитель $2$ из $- 6$ .

$\frac{13}{3} + \frac{2 \cdot - 3}{2}$

Этап 3.9.2.3.26.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.3.26.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{13}{3} + \frac{2 \cdot - 3}{2 (1)}$

Этап 3.9.2.3.26.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{13}{3} + \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1}$

Этап 3.9.2.3.26.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{13}{3} + \frac{- 3}{1}$

Этап 3.9.2.3.26.2.4

Разделим $- 3$ на $1$ .

$\frac{13}{3} - 3$

Этап 3.9.2.3.27

Чтобы записать $- 3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{13}{3} - 3 \cdot \frac{3}{3}$

Этап 3.9.2.3.28

Объединим $- 3$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{13}{3} + \frac{- 3 \cdot 3}{3}$

Этап 3.9.2.3.29

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{13 - 3 \cdot 3}{3}$

Этап 3.9.2.3.30

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.3.30.1

Умножим $- 3$ на $3$ .

$\frac{13 - 9}{3}$

Этап 3.9.2.3.30.2

Вычтем $9$ из $13$ .

$\frac{4}{3}$

Этап 4