Математический анализ Примеры

$\frac{x^{2} + 64}{x}$

Этап 1

Запишем $\frac{x^{2} + 64}{x}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{x^{2} + 64}{x}$

Этап 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2} + 64$ и $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} + 64] - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 2.1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.2.1

По правилу суммы производная $x^{2} + 64$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [64]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [64]) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 2.1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [64]) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 2.1.1.2.3

Поскольку $64$ является константой относительно $x$ , производная $64$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x (2 x + 0) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 2.1.1.2.4

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{x (2 x) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 2.1.1.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 2.1.1.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{1}) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 2.1.1.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 2.1.1.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 2.1.1.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 64) \cdot 1}{x^{2}}$

Этап 2.1.1.8

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 64)}{x^{2}}$

Этап 2.1.1.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 64}{x^{2}}$

Этап 2.1.1.9.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.9.2.1

Умножим $- 1$ на $64$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 64}{x^{2}}$

Этап 2.1.1.9.2.2

Вычтем $x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 64}{x^{2}}$

Этап 2.1.1.9.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.9.3.1

Перепишем $64$ в виде $8^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 8^{2}}{x^{2}}$

Этап 2.1.1.9.3.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 8$ .

$f' (x) = \frac{(x + 8) (x - 8)}{x^{2}}$

Этап 2.1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [(x + 8) (x - 8)] - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [(x + 8) (x - 8)] - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Этап 2.1.2.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [(x + 8) (x - 8)] - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.1.2.3

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x + 8$ и $g (x) = x - 8$ .

$\frac{x^{2} ((x + 8) \frac{d}{d x} [x - 8] + (x - 8) \frac{d}{d x} [x + 8]) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.1.2.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.4.1

По правилу суммы производная $x - 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{x^{2} ((x + 8) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]) + (x - 8) \frac{d}{d x} [x + 8]) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.1.2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x^{2} ((x + 8) (1 + \frac{d}{d x} [- 8]) + (x - 8) \frac{d}{d x} [x + 8]) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.1.2.4.3

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x^{2} ((x + 8) (1 + 0) + (x - 8) \frac{d}{d x} [x + 8]) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.1.2.4.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.4.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{x^{2} ((x + 8) \cdot 1 + (x - 8) \frac{d}{d x} [x + 8]) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.1.2.4.4.2

Умножим $x + 8$ на $1$ .

$\frac{x^{2} (x + 8 + (x - 8) \frac{d}{d x} [x + 8]) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.1.2.4.5

По правилу суммы производная $x + 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{x^{2} (x + 8 + (x - 8) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8])) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.1.2.4.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x^{2} (x + 8 + (x - 8) (1 + \frac{d}{d x} [8])) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.1.2.4.7

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x^{2} (x + 8 + (x - 8) (1 + 0)) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.1.2.4.8

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.4.8.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{x^{2} (x + 8 + (x - 8) \cdot 1) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.1.2.4.8.2

Умножим $x - 8$ на $1$ .

$\frac{x^{2} (x + 8 + x - 8) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.1.2.4.8.3

Добавим $x$ и $x$ .

$\frac{x^{2} (2 x + 8 - 8) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.1.2.4.8.4

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.4.8.4.1

Вычтем $8$ из $8$ .

$\frac{x^{2} (2 x + 0) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.1.2.4.8.4.2

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{x^{2} (2 x) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.1.2.5

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.5.1

Перенесем $x$ .

$\frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.1.2.5.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.5.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x^{1} x^{2} \cdot 2 - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.1.2.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x^{1 + 2} \cdot 2 - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.1.2.5.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{x^{3} \cdot 2 - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.1.2.6

Перенесем $2$ влево от $x^{3}$ .

$\frac{2 \cdot x^{3} - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.1.2.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{2 x^{3} - (x + 8) (x - 8) (2 x)}{x^{4}}$

Этап 2.1.2.8

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 (x + 8) (x - 8) x}{x^{4}}$

Этап 2.1.2.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x - 2 \cdot 8) (x - 8) x}{x^{4}}$

Этап 2.1.2.9.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.9.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.9.2.1.1

Умножим $- 2$ на $8$ .

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x - 16) (x - 8) x}{x^{4}}$

Этап 2.1.2.9.2.1.2

Развернем $(- 2 x - 16) (x - 8)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.9.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x (x - 8) - 16 (x - 8)) x}{x^{4}}$

Этап 2.1.2.9.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 8 - 16 (x - 8)) x}{x^{4}}$

Этап 2.1.2.9.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 8 - 16 x - 16 \cdot - 8) x}{x^{4}}$

Этап 2.1.2.9.2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.9.2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.9.2.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.9.2.1.3.1.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 x^{3} + (- 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 8 - 16 x - 16 \cdot - 8) x}{x^{4}}$

Этап 2.1.2.9.2.1.3.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} - 2 x \cdot - 8 - 16 x - 16 \cdot - 8) x}{x^{4}}$

Этап 2.1.2.9.2.1.3.1.2

Умножим $- 8$ на $- 2$ .

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 16 x - 16 x - 16 \cdot - 8) x}{x^{4}}$

Этап 2.1.2.9.2.1.3.1.3

Умножим $- 16$ на $- 8$ .

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 16 x - 16 x + 128) x}{x^{4}}$

Этап 2.1.2.9.2.1.3.2

Вычтем $16 x$ из $16 x$ .

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 0 + 128) x}{x^{4}}$

Этап 2.1.2.9.2.1.3.3

Добавим $- 2 x^{2}$ и $0$ .

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 128) x}{x^{4}}$

Этап 2.1.2.9.2.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} x + 128 x}{x^{4}}$

Этап 2.1.2.9.2.1.5

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.9.2.1.5.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 (x \cdot x^{2}) + 128 x}{x^{4}}$

Этап 2.1.2.9.2.1.5.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.9.2.1.5.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 (x^{1} x^{2}) + 128 x}{x^{4}}$

Этап 2.1.2.9.2.1.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{1 + 2} + 128 x}{x^{4}}$

Этап 2.1.2.9.2.1.5.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{3} + 128 x}{x^{4}}$

Этап 2.1.2.9.2.2

Вычтем $2 x^{3}$ из $2 x^{3}$ .

$\frac{0 + 128 x}{x^{4}}$

Этап 2.1.2.9.2.3

Добавим $0$ и $128 x$ .

$\frac{128 x}{x^{4}}$

Этап 2.1.2.9.3

Сократим общий множитель $x$ и $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.9.3.1

Вынесем множитель $x$ из $128 x$ .

$\frac{x \cdot 128}{x^{4}}$

Этап 2.1.2.9.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.9.3.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{4}$ .

$\frac{x \cdot 128}{x \cdot x^{3}}$

Этап 2.1.2.9.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x \cdot 128}{x \cdot x^{3}}$

Этап 2.1.2.9.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = \frac{128}{x^{3}}$

Этап 2.1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{128}{x^{3}}$ .

$\frac{128}{x^{3}}$

Этап 2.2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{128}{x^{3}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$\frac{128}{x^{3}} = 0$

Этап 2.2.2

Приравняем числитель к нулю.

$128 = 0$

Этап 2.2.3

Поскольку $128 \neq 0$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Этап 3

Найдем область определения $f (x) = \frac{x^{2} + 64}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим знаменатель в $\frac{x^{2} + 64}{x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x = 0$

Этап 3.2

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq 0}$

Интервальное представление:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq 0}$

Этап 4

Создадим интервалы вокруг значений $x$ , в которых вторая производная равна нулю или не определена.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 5

Подставим любое число из интервала $(- \infty, 0)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f'' (- 2) = \frac{128}{{(- 2)}^{3}}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$f'' (- 2) = \frac{128}{- 8}$

Этап 5.2.2

Разделим $128$ на $- 8$ .

$f'' (- 2) = - 16$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $- 16$ .

$- 16$

Этап 5.3

График вогнут вниз на интервале $(- \infty, 0)$ , поскольку $f'' (- 2)$ имеет отрицательное значение.

Вогнутость вниз на интервале $(- \infty, 0)$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Этап 6

Подставим любое число из интервала $(0, \infty)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f'' (2) = \frac{128}{{(2)}^{3}}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f'' (2) = \frac{128}{8}$

Этап 6.2.2

Разделим $128$ на $8$ .

$f'' (2) = 16$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $16$ .

$16$

Этап 6.3

График вогнут вверх на интервале $(0, \infty)$ , поскольку $f'' (2)$ имеет положительное значение.

Вогнутость вверх на интервале $(0, \infty)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Этап 7

График вогнут вниз, когда вторая производная отрицательна, и вогнут вверх, когда вторая производная положительна.

Вогнутость вниз на интервале $(- \infty, 0)$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Вогнутость вверх на интервале $(0, \infty)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Этап 8