Математический анализ Примеры

$3 \cos^{2} (x) - 6 \sin (x)$

Этап 1

Запишем $3 \cos^{2} (x) - 6 \sin (x)$ в виде функции.

$f (x) = 3 \cos^{2} (x) - 6 \sin (x)$

Этап 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

По правилу суммы производная $3 \cos^{2} (x) - 6 \sin (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 6 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 6 \sin (x)]$

Этап 2.1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 \cos^{2} (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 \cos^{2} (x)$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 6 \sin (x)]$

Этап 2.1.1.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\cos (x)$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 6 \sin (x)]$

Этап 2.1.1.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 (2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 6 \sin (x)]$

Этап 2.1.1.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\cos (x)$ .

$3 (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 6 \sin (x)]$

Этап 2.1.1.2.3

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$3 (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 6 \sin (x)]$

Этап 2.1.1.2.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$3 (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- 6 \sin (x)]$

Этап 2.1.1.2.5

Умножим $- 2$ на $3$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 6 \sin (x)]$

Этап 2.1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 6 \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 \sin (x)$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 2.1.1.3.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$f' (x) = - 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \cos (x)$

Этап 2.1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

По правилу суммы производная $- 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 6 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 6 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 6 \cos (x)]$

Этап 2.1.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 6 \cos (x) \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 \cos (x) \sin (x)$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 6 \cos (x)]$

Этап 2.1.2.2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = \sin (x)$ .

$- 6 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 6 \cos (x)]$

Этап 2.1.2.2.3

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$- 6 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 6 \cos (x)]$

Этап 2.1.2.2.4

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$- 6 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 6 \cos (x)]$

Этап 2.1.2.2.5

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$- 6 (\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 6 \cos (x)]$

Этап 2.1.2.2.6

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$- 6 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 6 \cos (x)]$

Этап 2.1.2.2.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 6 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 6 \cos (x)]$

Этап 2.1.2.2.8

Добавим $1$ и $1$ .

$- 6 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 6 \cos (x)]$

Этап 2.1.2.2.9

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$- 6 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 6 \cos (x)]$

Этап 2.1.2.2.10

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$- 6 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))) + \frac{d}{d x} [- 6 \cos (x)]$

Этап 2.1.2.2.11

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 6 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [- 6 \cos (x)]$

Этап 2.1.2.2.12

Добавим $1$ и $1$ .

$- 6 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [- 6 \cos (x)]$

Этап 2.1.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 6 \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 \cos (x)$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$- 6 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 6 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 2.1.2.3.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$- 6 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 6 (- \sin (x))$

Этап 2.1.2.3.3

Умножим $- 1$ на $- 6$ .

$- 6 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + 6 \sin (x)$

Этап 2.1.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 6 \cos^{2} (x) - 6 (- \sin^{2} (x)) + 6 \sin (x)$

Этап 2.1.2.4.2

Умножим $- 1$ на $- 6$ .

$f'' (x) = - 6 \cos^{2} (x) + 6 \sin^{2} (x) + 6 \sin (x)$

Этап 2.1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 6 \cos^{2} (x) + 6 \sin^{2} (x) + 6 \sin (x)$ .

$- 6 \cos^{2} (x) + 6 \sin^{2} (x) + 6 \sin (x)$

Этап 2.2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 6 \cos^{2} (x) + 6 \sin^{2} (x) + 6 \sin (x) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$- 6 \cos^{2} (x) + 6 \sin^{2} (x) + 6 \sin (x) = 0$

Этап 2.2.2

Заменим $- 6 \cos^{2} (x)$ на $- 6 (1 - \sin^{2} (x))$ на основе тождества $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$- 6 (1 - \sin^{2} (x)) + 6 \sin^{2} (x) + 6 \sin (x) = 0$

Этап 2.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 6 \cdot 1 - 6 (- \sin^{2} (x)) + 6 \sin^{2} (x) + 6 \sin (x) = 0$

Этап 2.2.3.2

Умножим $- 6$ на $1$ .

$- 6 - 6 (- \sin^{2} (x)) + 6 \sin^{2} (x) + 6 \sin (x) = 0$

Этап 2.2.3.3

Умножим $- 1$ на $- 6$ .

$- 6 + 6 \sin^{2} (x) + 6 \sin^{2} (x) + 6 \sin (x) = 0$

Этап 2.2.4

Добавим $6 \sin^{2} (x)$ и $6 \sin^{2} (x)$ .

$- 6 + 12 \sin^{2} (x) + 6 \sin (x) = 0$

Этап 2.2.5

Упорядочим многочлен.

$12 \sin^{2} (x) + 6 \sin (x) - 6 = 0$

Этап 2.2.6

Подставим $u$ вместо $\sin (x)$ .

$12 {(u)}^{2} + 6 (u) - 6 = 0$

Этап 2.2.7

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.7.1

Вынесем множитель $6$ из $12 u^{2} + 6 u - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.7.1.1

Вынесем множитель $6$ из $12 u^{2}$ .

$6 (2 u^{2}) + 6 u - 6 = 0$

Этап 2.2.7.1.2

Вынесем множитель $6$ из $6 u$ .

$6 (2 u^{2}) + 6 u - 6 = 0$

Этап 2.2.7.1.3

Вынесем множитель $6$ из $- 6$ .

$6 (2 u^{2}) + 6 u + 6 (- 1) = 0$

Этап 2.2.7.1.4

Вынесем множитель $6$ из $6 (2 u^{2}) + 6 u$ .

$6 (2 u^{2} + u) + 6 (- 1) = 0$

Этап 2.2.7.1.5

Вынесем множитель $6$ из $6 (2 u^{2} + u) + 6 (- 1)$ .

$6 (2 u^{2} + u - 1) = 0$

Этап 2.2.7.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.7.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.7.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ , а сумма — $b = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.7.2.1.1.1

Умножим на $1$ .

$6 (2 u^{2} + 1 u - 1) = 0$

Этап 2.2.7.2.1.1.2

Запишем $1$ как $- 1$ плюс $2$

$6 (2 u^{2} + (- 1 + 2) u - 1) = 0$

Этап 2.2.7.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$6 (2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1) = 0$

Этап 2.2.7.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.7.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$6 (2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1) = 0$

Этап 2.2.7.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$6 (u (2 u - 1) + 1 (2 u - 1)) = 0$

Этап 2.2.7.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 u - 1$ .

$6 ((2 u - 1) (u + 1)) = 0$

Этап 2.2.7.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$6 (2 u - 1) (u + 1) = 0$

Этап 2.2.8

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 u - 1 = 0$

$u + 1 = 0$

Этап 2.2.9

Приравняем $2 u - 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.9.1

Приравняем $2 u - 1$ к $0$ .

$2 u - 1 = 0$

Этап 2.2.9.2

Решим $2 u - 1 = 0$ относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.9.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 u = 1$

Этап 2.2.9.2.2

Разделим каждый член $2 u = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.9.2.2.1

Разделим каждый член $2 u = 1$ на $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 2.2.9.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.9.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.9.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 2.2.9.2.2.2.1.2

Разделим $u$ на $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

Этап 2.2.10

Приравняем $u + 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.10.1

Приравняем $u + 1$ к $0$ .

$u + 1 = 0$

Этап 2.2.10.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$u = - 1$

Этап 2.2.11

Окончательным решением являются все значения, при которых $6 (2 u - 1) (u + 1) = 0$ верно.

$u = \frac{1}{2}, - 1$

Этап 2.2.12

Подставим $\sin (x)$ вместо $u$ .

$\sin (x) = \frac{1}{2}, - 1$

Этап 2.2.13

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

$\sin (x) = - 1$

Этап 2.2.14

Решим относительно $x$ в $\sin (x) = \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.14.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Этап 2.2.14.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.14.2.1

Точное значение $\arcsin (\frac{1}{2})$ : $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Этап 2.2.14.3

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - \frac{π}{6}$

Этап 2.2.14.4

Упростим $π - \frac{π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.14.4.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 2.2.14.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.14.4.2.1

Объединим $π$ и $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 2.2.14.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Этап 2.2.14.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.14.4.3.1

Перенесем $6$ влево от $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Этап 2.2.14.4.3.2

Вычтем $π$ из $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Этап 2.2.14.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.14.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 2.2.14.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 2.2.14.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 2.2.14.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 2.2.14.6

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.2.15

Решим относительно $x$ в $\sin (x) = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.15.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (- 1)$

Этап 2.2.15.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.15.2.1

Точное значение $\arcsin (- 1)$ : $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Этап 2.2.15.3

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Этап 2.2.15.4

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.15.4.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Этап 2.2.15.4.2

Результирующий угол $\frac{3 π}{2}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{2} + π$ на полный оборот.

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 2.2.15.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.15.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 2.2.15.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 2.2.15.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 2.2.15.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 2.2.15.6

Добавим $2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.15.6.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{2}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Этап 2.2.15.6.2

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 2.2.15.6.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.15.6.3.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 2.2.15.6.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 2.2.15.6.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.15.6.4.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Этап 2.2.15.6.4.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Этап 2.2.15.6.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 2.2.15.7

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.2.16

Перечислим все решения.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.2.17

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{6} + \frac{2 π n}{3}$ , для любого целого $n$

Этап 3

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 4

Создадим интервалы вокруг значений $x$ , в которых вторая производная равна нулю или не определена.

$(- \infty, \infty)$

Этап 5

Подставим любое число из интервала $(- \infty, \infty)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f'' (0) = - 6 \cos^{2} (0) + 6 \sin^{2} (0) + 6 \sin (0)$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f'' (0) = - 6 \cdot 1^{2} + 6 \sin^{2} (0) + 6 \sin (0)$

Этап 5.2.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$f'' (0) = - 6 \cdot 1 + 6 \sin^{2} (0) + 6 \sin (0)$

Этап 5.2.1.3

Умножим $- 6$ на $1$ .

$f'' (0) = - 6 + 6 \sin^{2} (0) + 6 \sin (0)$

Этап 5.2.1.4

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$f'' (0) = - 6 + 6 \cdot 0^{2} + 6 \sin (0)$

Этап 5.2.1.5

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f'' (0) = - 6 + 6 \cdot 0 + 6 \sin (0)$

Этап 5.2.1.6

Умножим $6$ на $0$ .

$f'' (0) = - 6 + 0 + 6 \sin (0)$

Этап 5.2.1.7

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$f'' (0) = - 6 + 0 + 6 \cdot 0$

Этап 5.2.1.8

Умножим $6$ на $0$ .

$f'' (0) = - 6 + 0 + 0$

Этап 5.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Добавим $- 6$ и $0$ .

$f'' (0) = - 6 + 0$

Этап 5.2.2.2

Добавим $- 6$ и $0$ .

$f'' (0) = - 6$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $- 6$ .

$- 6$

Этап 5.3

График вогнут вниз на интервале $(- \infty, \infty)$ , поскольку $f'' (0)$ имеет отрицательное значение.

Вогнутость вниз на интервале $(- \infty, \infty)$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Этап 6