Математический анализ Примеры

$6 \sec (x - \frac{π}{2})$

Этап 1

Запишем $6 \sec (x - \frac{π}{2})$ в виде функции.

$f (x) = 6 \sec (x - \frac{π}{2})$

Этап 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 \sec (x - \frac{π}{2})$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})]$

Этап 2.1.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sec (x)$ и $g (x) = x - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - \frac{π}{2}$ .

$6 (\frac{d}{d u} [\sec (u)] \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}])$

Этап 2.1.1.2.2

Производная $\sec (u)$ по $u$ равна $\sec (u) \tan (u)$ .

$6 (\sec (u) \tan (u) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}])$

Этап 2.1.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - \frac{π}{2}$ .

$6 (\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}])$

Этап 2.1.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.1

По правилу суммы производная $x - \frac{π}{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]$ .

$6 \sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}])$

Этап 2.1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 \sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}])$

Этап 2.1.1.3.3

Поскольку $- \frac{π}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{π}{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$6 \sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) (1 + 0)$

Этап 2.1.1.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$6 \sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) \cdot 1$

Этап 2.1.1.3.4.2

Умножим $6$ на $1$ .

$f' (x) = 6 \sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})$

Этап 2.1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 \sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})]$

Этап 2.1.2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \sec (x - \frac{π}{2})$ и $g (x) = \tan (x - \frac{π}{2})$ .

$6 (\sec (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\tan (x - \frac{π}{2})] + \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})])$

Этап 2.1.2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x - \frac{π}{2}$ .

$6 (\sec (x - \frac{π}{2}) (\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}]) + \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})])$

Этап 2.1.2.3.2

Производная $\tan (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\sec^{2} (u_{1})$ .

$6 (\sec (x - \frac{π}{2}) (\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}]) + \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})])$

Этап 2.1.2.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x - \frac{π}{2}$ .

$6 (\sec (x - \frac{π}{2}) (\sec^{2} (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}]) + \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})])$

Этап 2.1.2.4

Возведем $\sec (x - \frac{π}{2})$ в степень $1$ .

$6 (\sec^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec^{1} (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}] + \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})])$

Этап 2.1.2.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$6 ({\sec (x - \frac{π}{2})}^{2 + 1} \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}] + \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})])$

Этап 2.1.2.6

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.6.1

Добавим $2$ и $1$ .

$6 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}] + \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})])$

Этап 2.1.2.6.2

По правилу суммы производная $x - \frac{π}{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]$ .

$6 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]) + \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})])$

Этап 2.1.2.6.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]) + \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})])$

Этап 2.1.2.6.4

Поскольку $- \frac{π}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{π}{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$6 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) (1 + 0) + \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})])$

Этап 2.1.2.6.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.6.5.1

Добавим $1$ и $0$ .

$6 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \cdot 1 + \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})])$

Этап 2.1.2.6.5.2

Умножим $\sec^{3} (x - \frac{π}{2})$ на $1$ .

$6 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})])$

Этап 2.1.2.7

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.7.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x - \frac{π}{2}$ .

$6 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + \tan (x - \frac{π}{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}]))$

Этап 2.1.2.7.2

Производная $\sec (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$6 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + \tan (x - \frac{π}{2}) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}]))$

Этап 2.1.2.7.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x - \frac{π}{2}$ .

$6 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + \tan (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}]))$

Этап 2.1.2.8

Возведем $\tan (x - \frac{π}{2})$ в степень $1$ .

$6 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + \tan^{1} (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}]))$

Этап 2.1.2.9

Возведем $\tan (x - \frac{π}{2})$ в степень $1$ .

$6 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + \tan^{1} (x - \frac{π}{2}) \tan^{1} (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}]))$

Этап 2.1.2.10

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$6 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + {\tan (x - \frac{π}{2})}^{1 + 1} (\sec (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}]))$

Этап 2.1.2.11

Добавим $1$ и $1$ .

$6 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}]))$

Этап 2.1.2.12

По правилу суммы производная $x - \frac{π}{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]$ .

$6 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]))$

Этап 2.1.2.13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]))$

Этап 2.1.2.14

Поскольку $- \frac{π}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{π}{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$6 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) (1 + 0))$

Этап 2.1.2.15

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.15.1

Добавим $1$ и $0$ .

$6 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) \cdot 1)$

Этап 2.1.2.15.2

Умножим $\tan^{2} (x - \frac{π}{2})$ на $1$ .

$6 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}))$

Этап 2.1.2.16

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.16.1

Применим свойство дистрибутивности.

$6 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + 6 (\tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}))$

Этап 2.1.2.16.2

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = 6 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 6 \sec^{3} (x - \frac{π}{2})$

Этап 2.1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $6 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 6 \sec^{3} (x - \frac{π}{2})$ .

$6 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 6 \sec^{3} (x - \frac{π}{2})$

Этап 2.2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $6 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 6 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$6 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 6 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) = 0$

Этап 2.2.2

Заменим $\tan^{2} (x - \frac{π}{2})$ на $\sec^{2} (x - \frac{π}{2}) - 1$ на основе тождества $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$(\sec^{2} (x - \frac{π}{2}) - 1) \sec (x - \frac{π}{2}) + 6 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) = 0$

Этап 2.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\sec^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) - 1 \sec (x - \frac{π}{2}) + 6 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) = 0$

Этап 2.2.3.2

Умножим $\sec^{2} (x - \frac{π}{2})$ на $\sec (x - \frac{π}{2})$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1

Умножим $\sec^{2} (x - \frac{π}{2})$ на $\sec (x - \frac{π}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1.1

Возведем $\sec (x - \frac{π}{2})$ в степень $1$ .

$\sec^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) - 1 \sec (x - \frac{π}{2}) + 6 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) = 0$

Этап 2.2.3.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${\sec (x - \frac{π}{2})}^{2 + 1} - 1 \sec (x - \frac{π}{2}) + 6 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) = 0$

Этап 2.2.3.2.2

Добавим $2$ и $1$ .

$\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) - 1 \sec (x - \frac{π}{2}) + 6 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) = 0$

Этап 2.2.3.3

Перепишем $- 1 \sec (x - \frac{π}{2})$ в виде $- \sec (x - \frac{π}{2})$ .

$\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) - \sec (x - \frac{π}{2}) + 6 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) = 0$

Этап 2.2.4

Добавим $\sec^{3} (x - \frac{π}{2})$ и $6 \sec^{3} (x - \frac{π}{2})$ .

$7 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) - \sec (x - \frac{π}{2}) = 0$

Этап 2.2.5

Подставим $u$ вместо $\sec (x - \frac{π}{2})$ .

$7 {(u)}^{3} - (u) = 0$

Этап 2.2.6

Вынесем множитель $u$ из $7 u^{3} - u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Вынесем множитель $u$ из $7 u^{3}$ .

$u (7 u^{2}) - u = 0$

Этап 2.2.6.2

Вынесем множитель $u$ из $- u$ .

$u (7 u^{2}) + u \cdot - 1 = 0$

Этап 2.2.6.3

Вынесем множитель $u$ из $u (7 u^{2}) + u \cdot - 1$ .

$u (7 u^{2} - 1) = 0$

Этап 2.2.7

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$u = 0$

$7 u^{2} - 1 = 0$

Этап 2.2.8

Приравняем $u$ к $0$ .

$u = 0$

Этап 2.2.9

Приравняем $7 u^{2} - 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.9.1

Приравняем $7 u^{2} - 1$ к $0$ .

$7 u^{2} - 1 = 0$

Этап 2.2.9.2

Решим $7 u^{2} - 1 = 0$ относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.9.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$7 u^{2} = 1$

Этап 2.2.9.2.2

Разделим каждый член $7 u^{2} = 1$ на $7$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.9.2.2.1

Разделим каждый член $7 u^{2} = 1$ на $7$ .

$\frac{7 u^{2}}{7} = \frac{1}{7}$

Этап 2.2.9.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.9.2.2.2.1

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.9.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{7 u^{2}}{7} = \frac{1}{7}$

Этап 2.2.9.2.2.2.1.2

Разделим $u^{2}$ на $1$ .

$u^{2} = \frac{1}{7}$

Этап 2.2.9.2.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$u = \pm \sqrt{\frac{1}{7}}$

Этап 2.2.9.2.4

Упростим $\pm \sqrt{\frac{1}{7}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.9.2.4.1

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{7}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{7}}$ .

$u = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{7}}$

Этап 2.2.9.2.4.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$u = \pm \frac{1}{\sqrt{7}}$

Этап 2.2.9.2.4.3

Умножим $\frac{1}{\sqrt{7}}$ на $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$u = \pm \frac{1}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$

Этап 2.2.9.2.4.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.9.2.4.4.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{7}}$ на $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$u = \pm \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Этап 2.2.9.2.4.4.2

Возведем $\sqrt{7}$ в степень $1$ .

$u = \pm \frac{\sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}}$

Этап 2.2.9.2.4.4.3

Возведем $\sqrt{7}$ в степень $1$ .

$u = \pm \frac{\sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}}$

Этап 2.2.9.2.4.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$u = \pm \frac{\sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}}$

Этап 2.2.9.2.4.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$u = \pm \frac{\sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}}$

Этап 2.2.9.2.4.4.6

Перепишем ${\sqrt{7}}^{2}$ в виде $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.9.2.4.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{7}$ в виде $7^{\frac{1}{2}}$ .

$u = \pm \frac{\sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.2.9.2.4.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u = \pm \frac{\sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.2.9.2.4.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$u = \pm \frac{\sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.2.9.2.4.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.9.2.4.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$u = \pm \frac{\sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.2.9.2.4.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$u = \pm \frac{\sqrt{7}}{7^{1}}$

Этап 2.2.9.2.4.4.6.5

Найдем экспоненту.

$u = \pm \frac{\sqrt{7}}{7}$

Этап 2.2.9.2.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.9.2.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$u = \frac{\sqrt{7}}{7}$

Этап 2.2.9.2.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$u = - \frac{\sqrt{7}}{7}$

Этап 2.2.9.2.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$u = \frac{\sqrt{7}}{7}, - \frac{\sqrt{7}}{7}$

Этап 2.2.10

Окончательным решением являются все значения, при которых $u (7 u^{2} - 1) = 0$ верно.

$u = 0, \frac{\sqrt{7}}{7}, - \frac{\sqrt{7}}{7}$

Этап 2.2.11

Подставим $\sec (x - \frac{π}{2})$ вместо $u$ .

$\sec (x - \frac{π}{2}) = 0, \frac{\sqrt{7}}{7}, - \frac{\sqrt{7}}{7}$

Этап 2.2.12

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\sec (x - \frac{π}{2}) = 0$

$\sec (x - \frac{π}{2}) = \frac{\sqrt{7}}{7}$

$\sec (x - \frac{π}{2}) = - \frac{\sqrt{7}}{7}$

Этап 2.2.13

Решим относительно $x$ в $\sec (x - \frac{π}{2}) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.13.1

Множество значений секанса: $y \leq - 1$ и $y \geq 1$ . Поскольку $0$ не попадает в этот диапазон, решение отсутствует.

Нет решения

Этап 2.2.14

Решим относительно $x$ в $\sec (x - \frac{π}{2}) = \frac{\sqrt{7}}{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.14.1

Множество значений секанса: $y \leq - 1$ и $y \geq 1$ . Поскольку $\frac{\sqrt{7}}{7}$ не попадает в этот диапазон, решение отсутствует.

Нет решения

Этап 2.2.15

Решим относительно $x$ в $\sec (x - \frac{π}{2}) = - \frac{\sqrt{7}}{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.15.1

Множество значений секанса: $y \leq - 1$ и $y \geq 1$ . Поскольку $- \frac{\sqrt{7}}{7}$ не попадает в этот диапазон, решение отсутствует.

Нет решения

Этап 3

Найдем область определения $f (x) = 6 \sec (x - \frac{π}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим аргумент в $\sec (x - \frac{π}{2})$ равным $\frac{π}{2} + π n$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x - \frac{π}{2} = \frac{π}{2} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 3.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Добавим $\frac{π}{2}$ к обеим частям уравнения.

$x = \frac{π}{2} + π n + \frac{π}{2}$

Этап 3.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = π n + \frac{π + π}{2}$

Этап 3.2.3

Добавим $π$ и $π$ .

$x = π n + \frac{2 π}{2}$

Этап 3.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Сократим общий множитель.

$x = π n + \frac{2 π}{2}$

Этап 3.2.4.2

Разделим $π$ на $1$ .

$x = π n + π$

Этап 3.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Обозначение построения множества:

${x | x \neq π n + π}$ , для любого целого $n$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq π n + π}$ , для любого целого $n$

Этап 4

Подставим любое число из интервала ${x | x \neq π n + π}$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $N a N$ .

$f'' (N a N) = 6 \tan^{2} ((N a N) - \frac{π}{2}) \sec ((N a N) - \frac{π}{2}) + 6 \sec^{3} ((N a N) - \frac{π}{2})$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Умножим $N$ на $N$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Перенесем $N$ .

$f'' (N a N) = 6 \tan^{2} (N \cdot N a - \frac{π}{2}) \sec ((N a N) - \frac{π}{2}) + 6 \sec^{3} ((N a N) - \frac{π}{2})$

Этап 4.2.1.1.2

Умножим $N$ на $N$ .

$f'' (N a N) = 6 \tan^{2} (N^{2} a - \frac{π}{2}) \sec ((N a N) - \frac{π}{2}) + 6 \sec^{3} ((N a N) - \frac{π}{2})$

Этап 4.2.1.2

Умножим $N$ на $N$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.1

Перенесем $N$ .

$f'' (N a N) = 6 \tan^{2} (N^{2} a - \frac{π}{2}) \sec (N \cdot N a - \frac{π}{2}) + 6 \sec^{3} ((N a N) - \frac{π}{2})$

Этап 4.2.1.2.2

Умножим $N$ на $N$ .

$f'' (N a N) = 6 \tan^{2} (N^{2} a - \frac{π}{2}) \sec (N^{2} a - \frac{π}{2}) + 6 \sec^{3} ((N a N) - \frac{π}{2})$

Этап 4.2.1.3

Умножим $N$ на $N$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.3.1

Перенесем $N$ .

$f'' (N a N) = 6 \tan^{2} (N^{2} a - \frac{π}{2}) \sec (N^{2} a - \frac{π}{2}) + 6 \sec^{3} (N \cdot N a - \frac{π}{2})$

Этап 4.2.1.3.2

Умножим $N$ на $N$ .

$f'' (N a N) = 6 \tan^{2} (N^{2} a - \frac{π}{2}) \sec (N^{2} a - \frac{π}{2}) + 6 \sec^{3} (N^{2} a - \frac{π}{2})$

Этап 4.2.2

Окончательный ответ: $6 \tan^{2} (N^{2} a - \frac{π}{2}) \sec (N^{2} a - \frac{π}{2}) + 6 \sec^{3} (N^{2} a - \frac{π}{2})$ .

$6 \tan^{2} (N^{2} a - \frac{π}{2}) \sec (N^{2} a - \frac{π}{2}) + 6 \sec^{3} (N^{2} a - \frac{π}{2})$

Этап 4.3

График вогнут вверх на интервале ${x | x \neq π n + π}$ , поскольку $f'' (N a N)$ имеет положительное значение.

Вогнутость вверх на интервале ${x | x \neq π n + π}$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Этап 5