Математический анализ Примеры

$y = 6 \sec (x) - 12 \cos (x)$ , $(\frac{π}{3}, 6)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = \frac{π}{3}$ и $y = 6$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $6 \sec (x) - 12 \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6 \sec (x)] + \frac{d}{d x} [- 12 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 \sec (x)] + \frac{d}{d x} [- 12 \cos (x)]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 \sec (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 \sec (x)$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- 12 \cos (x)]$

Этап 1.2.2

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$6 \sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [- 12 \cos (x)]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 12 \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 12$ является константой относительно $x$ , производная $- 12 \cos (x)$ по $x$ равна $- 12 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$6 \sec (x) \tan (x) - 12 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 1.3.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$6 \sec (x) \tan (x) - 12 (- \sin (x))$

Этап 1.3.3

Умножим $- 1$ на $- 12$ .

$6 \sec (x) \tan (x) + 12 \sin (x)$

Этап 1.4

Найдем производную в $x = \frac{π}{3}$ .

$6 \sec (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{3}) + 12 \sin (\frac{π}{3})$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Точное значение $\sec (\frac{π}{3})$ : $2$ .

$6 \cdot 2 \tan (\frac{π}{3}) + 12 \sin (\frac{π}{3})$

Этап 1.5.1.2

Умножим $6$ на $2$ .

$12 \tan (\frac{π}{3}) + 12 \sin (\frac{π}{3})$

Этап 1.5.1.3

Точное значение $\tan (\frac{π}{3})$ : $\sqrt{3}$ .

$12 \sqrt{3} + 12 \sin (\frac{π}{3})$

Этап 1.5.1.4

Точное значение $\sin (\frac{π}{3})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$12 \sqrt{3} + 12 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 1.5.1.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.5.1

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

$12 \sqrt{3} + 2 (6) \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 1.5.1.5.2

Сократим общий множитель.

$12 \sqrt{3} + 2 \cdot 6 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 1.5.1.5.3

Перепишем это выражение.

$12 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3}$

Этап 1.5.2

Добавим $12 \sqrt{3}$ и $6 \sqrt{3}$ .

$18 \sqrt{3}$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $18 \sqrt{3}$ и координаты заданной точки $(\frac{π}{3}, 6)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (6) = 18 \sqrt{3} \cdot (x - (\frac{π}{3}))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 6 = 18 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{3})$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $18 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y - 6 = 0 + 0 + 18 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{3})$

Этап 2.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - 6 = 18 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{3})$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 6 = 18 \sqrt{3} x + 18 \sqrt{3} (- \frac{π}{3})$

Этап 2.3.1.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{π}{3}$ в числитель.

$y - 6 = 18 \sqrt{3} x + 18 \sqrt{3} \frac{- π}{3}$

Этап 2.3.1.4.2

Вынесем множитель $3$ из $18 \sqrt{3}$ .

$y - 6 = 18 \sqrt{3} x + 3 (6 \sqrt{3}) \frac{- π}{3}$

Этап 2.3.1.4.3

Сократим общий множитель.

$y - 6 = 18 \sqrt{3} x + 3 (6 \sqrt{3}) \frac{- π}{3}$

Этап 2.3.1.4.4

Перепишем это выражение.

$y - 6 = 18 \sqrt{3} x + 6 \sqrt{3} (- π)$

Этап 2.3.1.5

Умножим $- 1$ на $6$ .

$y - 6 = 18 \sqrt{3} x - 6 \sqrt{3} π$

Этап 2.3.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$y = 18 \sqrt{3} x - 6 \sqrt{3} π + 6$

Этап 3