Математический анализ Примеры

$y = 9 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}}$ ; $x = 9$

Этап 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подставим $9$ вместо $x$ .

$y = 9 {(9)}^{\frac{1}{2}} + {(9)}^{\frac{3}{2}}$

Этап 1.2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 9 \cdot 9^{\frac{1}{2}} + {(9)}^{\frac{3}{2}}$

Этап 1.2.2

Избавимся от скобок.

$y = 9 \cdot 9^{\frac{1}{2}} + 9^{\frac{3}{2}}$

Этап 1.2.3

Избавимся от скобок.

$y = 9 {(9)}^{\frac{1}{2}} + {(9)}^{\frac{3}{2}}$

Этап 1.2.4

Упростим $9 {(9)}^{\frac{1}{2}} + {(9)}^{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1.1

Умножим $9$ на ${(9)}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1.1.1

Умножим $9$ на ${(9)}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1.1.1.1

Возведем $9$ в степень $1$ .

$y = 9^{1} {(9)}^{\frac{1}{2}} + {(9)}^{\frac{3}{2}}$

Этап 1.2.4.1.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = 9^{1 + \frac{1}{2}} + {(9)}^{\frac{3}{2}}$

Этап 1.2.4.1.1.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$y = 9^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + {(9)}^{\frac{3}{2}}$

Этап 1.2.4.1.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = 9^{\frac{2 + 1}{2}} + {(9)}^{\frac{3}{2}}$

Этап 1.2.4.1.1.4

Добавим $2$ и $1$ .

$y = 9^{\frac{3}{2}} + {(9)}^{\frac{3}{2}}$

Этап 1.2.4.1.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$y = {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} + {(9)}^{\frac{3}{2}}$

Этап 1.2.4.1.3

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 3^{2 (\frac{3}{2})} + {(9)}^{\frac{3}{2}}$

Этап 1.2.4.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1.4.1

Сократим общий множитель.

$y = 3^{2 (\frac{3}{2})} + {(9)}^{\frac{3}{2}}$

Этап 1.2.4.1.4.2

Перепишем это выражение.

$y = 3^{3} + {(9)}^{\frac{3}{2}}$

Этап 1.2.4.1.5

Возведем $3$ в степень $3$ .

$y = 27 + {(9)}^{\frac{3}{2}}$

Этап 1.2.4.1.6

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$y = 27 + {(3^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Этап 1.2.4.1.7

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 27 + 3^{2 (\frac{3}{2})}$

Этап 1.2.4.1.8

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1.8.1

Сократим общий множитель.

$y = 27 + 3^{2 (\frac{3}{2})}$

Этап 1.2.4.1.8.2

Перепишем это выражение.

$y = 27 + 3^{3}$

Этап 1.2.4.1.9

Возведем $3$ в степень $3$ .

$y = 27 + 27$

Этап 1.2.4.2

Добавим $27$ и $27$ .

$y = 54$

Этап 2

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 9$ и $y = 54$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $9 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Этап 2.2.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Этап 2.2.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Этап 2.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Этап 2.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Этап 2.2.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$9 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Этап 2.2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$9 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Этап 2.2.8

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$9 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Этап 2.2.9

Объединим $9$ и $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{9 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Этап 2.2.10

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}$

Этап 2.3.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Этап 2.3.3

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Этап 2.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}$

Этап 2.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}$

Этап 2.3.5.2

Вычтем $2$ из $3$ .

$\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Изменим порядок членов.

$\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} + \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.4.2

Объединим $\frac{3}{2}$ и $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.5

Найдем производную в $x = 9$ .

$\frac{3 {(9)}^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{9}{2 {(9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.1.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{3 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{9}{2 {(9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.6.1.1.2

Перемножим экспоненты в ${(3^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}}{2} + \frac{9}{2 {(9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.6.1.1.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}}{2} + \frac{9}{2 {(9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.6.1.1.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3 \cdot 3^{1}}{2} + \frac{9}{2 {(9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.6.1.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3^{1 + 1}}{2} + \frac{9}{2 {(9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.6.1.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{3^{2}}{2} + \frac{9}{2 {(9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.6.1.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{9}{2} + \frac{9}{2 {(9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.6.1.3

Перенесем ${(9)}^{\frac{1}{2}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{9}{2} + \frac{9 \cdot 9^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Этап 2.6.1.4

Умножим $9$ на $9^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.4.1

Умножим $9$ на $9^{- \frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.4.1.1

Возведем $9$ в степень $1$ .

$\frac{9}{2} + \frac{9^{1} \cdot 9^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Этап 2.6.1.4.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{9}{2} + \frac{9^{1 - \frac{1}{2}}}{2}$

Этап 2.6.1.4.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{9}{2} + \frac{9^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2}$

Этап 2.6.1.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{9}{2} + \frac{9^{\frac{2 - 1}{2}}}{2}$

Этап 2.6.1.4.4

Вычтем $1$ из $2$ .

$\frac{9}{2} + \frac{9^{\frac{1}{2}}}{2}$

Этап 2.6.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.5.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{9}{2} + \frac{{(3^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Этап 2.6.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9}{2} + \frac{3^{2 (\frac{1}{2})}}{2}$

Этап 2.6.1.5.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.5.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9}{2} + \frac{3^{2 (\frac{1}{2})}}{2}$

Этап 2.6.1.5.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{9}{2} + \frac{3^{1}}{2}$

Этап 2.6.1.5.4

Найдем экспоненту.

$\frac{9}{2} + \frac{3}{2}$

Этап 2.6.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{9 + 3}{2}$

Этап 2.6.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.2.1

Добавим $9$ и $3$ .

$\frac{12}{2}$

Этап 2.6.2.2.2

Разделим $12$ на $2$ .

$6$

Этап 3

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем угловой коэффициент $6$ и координаты заданной точки $(9, 54)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (54) = 6 \cdot (x - (9))$

Этап 3.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 54 = 6 \cdot (x - 9)$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим $6 \cdot (x - 9)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем.

$y - 54 = 0 + 0 + 6 \cdot (x - 9)$

Этап 3.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - 54 = 6 \cdot (x - 9)$

Этап 3.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 54 = 6 x + 6 \cdot - 9$

Этап 3.3.1.4

Умножим $6$ на $- 9$ .

$y - 54 = 6 x - 54$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Добавим $54$ к обеим частям уравнения.

$y = 6 x - 54 + 54$

Этап 3.3.2.2

Объединим противоположные члены в $6 x - 54 + 54$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Добавим $- 54$ и $54$ .

$y = 6 x + 0$

Этап 3.3.2.2.2

Добавим $6 x$ и $0$ .

$y = 6 x$

Этап 4