Математический анализ Примеры

${(12 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ $x = 1$

Этап 1

Запишем ${(12 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ в виде уравнения.

$y = {(12 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$

Этап 2

Find the corresponding $y$ -value to $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подставим $1$ вместо $x$ .

$y = {(12 (1) - 3)}^{\frac{1}{2}}$

Этап 2.2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Избавимся от скобок.

$y = {(12 (1) - 3)}^{\frac{1}{2}}$

Этап 2.2.2

Упростим ${(12 (1) - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Умножим $12$ на $1$ .

$y = {(12 - 3)}^{\frac{1}{2}}$

Этап 2.2.2.1.2

Вычтем $3$ из $12$ .

$y = 9^{\frac{1}{2}}$

Этап 2.2.2.1.3

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$y = {(3^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Этап 2.2.2.1.4

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 3^{2 (\frac{1}{2})}$

Этап 2.2.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$y = 3^{2 (\frac{1}{2})}$

Этап 2.2.2.2.2

Перепишем это выражение.

$y = 3^{1}$

Этап 2.2.2.3

Найдем экспоненту.

$y = 3$

Этап 3

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 1$ и $y = 3$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = 12 x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $12 x - 3$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [12 x - 3]$

Этап 3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [12 x - 3]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $12 x - 3$ .

$\frac{1}{2} {(12 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [12 x - 3]$

Этап 3.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(12 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [12 x - 3]$

Этап 3.3

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(12 x - 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [12 x - 3]$

Этап 3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} {(12 x - 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [12 x - 3]$

Этап 3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} {(12 x - 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [12 x - 3]$

Этап 3.5.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} {(12 x - 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [12 x - 3]$

Этап 3.6

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} {(12 x - 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [12 x - 3]$

Этап 3.6.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(12 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(12 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [12 x - 3]$

Этап 3.6.3

Перенесем ${(12 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(12 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [12 x - 3]$

Этап 3.7

По правилу суммы производная $12 x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{1}{2 {(12 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Этап 3.8

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 x$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(12 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Этап 3.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(12 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Этап 3.10

Умножим $12$ на $1$ .

$\frac{1}{2 {(12 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (12 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Этап 3.11

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{2 {(12 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (12 + 0)$

Этап 3.12

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.1

Добавим $12$ и $0$ .

$\frac{1}{2 {(12 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 12$

Этап 3.12.2

Объединим $\frac{1}{2 {(12 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ и $12$ .

$\frac{12}{2 {(12 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.12.3

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

$\frac{2 \cdot 6}{2 {(12 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.13

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(12 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 6}{2 ({(12 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}$

Этап 3.13.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 6}{2 {(12 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.13.3

Перепишем это выражение.

$\frac{6}{{(12 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.14

Найдем производную в $x = 1$ .

$\frac{6}{{(12 (1) - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.15.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.15.1.1

Умножим $12$ на $1$ .

$\frac{6}{{(12 - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.15.1.2

Вычтем $3$ из $12$ .

$\frac{6}{9^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.15.1.3

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{6}{{(3^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.15.1.4

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6}{3^{2 (\frac{1}{2})}}$

Этап 3.15.1.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.15.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6}{3^{2 (\frac{1}{2})}}$

Этап 3.15.1.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{6}{3^{1}}$

Этап 3.15.1.6

Найдем экспоненту.

$\frac{6}{3}$

Этап 3.15.2

Разделим $6$ на $3$ .

$2$

Этап 4

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Используем угловой коэффициент $2$ и координаты заданной точки $(1, 3)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (3) = 2 \cdot (x - (1))$

Этап 4.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 3 = 2 \cdot (x - 1)$

Этап 4.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим $2 \cdot (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Перепишем.

$y - 3 = 0 + 0 + 2 \cdot (x - 1)$

Этап 4.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - 3 = 2 \cdot (x - 1)$

Этап 4.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 3 = 2 x + 2 \cdot - 1$

Этап 4.3.1.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$y - 3 = 2 x - 2$

Этап 4.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$y = 2 x - 2 + 3$

Этап 4.3.2.2

Добавим $- 2$ и $3$ .

$y = 2 x + 1$

Этап 5