Математический анализ Примеры

$y = x (16 x^{- 2} + 2)$ ; $x = - 2$

Этап 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подставим $- 2$ вместо $x$ .

$y = (- 2) (16 {(- 2)}^{- 2} + 2)$

Этап 1.2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Умножим $- 2$ на $16 {(- 2)}^{- 2} + 2$ .

$y = - 2 (16 {(- 2)}^{- 2} + 2)$

Этап 1.2.2

Упростим $- 2 (16 {(- 2)}^{- 2} + 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y = - 2 (16 \frac{1}{{(- 2)}^{2}} + 2)$

Этап 1.2.2.1.2

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$y = - 2 (16 (\frac{1}{4}) + 2)$

Этап 1.2.2.1.3

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.3.1

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$y = - 2 (4 (4) \frac{1}{4} + 2)$

Этап 1.2.2.1.3.2

Сократим общий множитель.

$y = - 2 (4 \cdot 4 \frac{1}{4} + 2)$

Этап 1.2.2.1.3.3

Перепишем это выражение.

$y = - 2 (4 + 2)$

Этап 1.2.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Добавим $4$ и $2$ .

$y = - 2 \cdot 6$

Этап 1.2.2.2.2

Умножим $- 2$ на $6$ .

$y = - 12$

Этап 2

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = - 2$ и $y = - 12$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = 16 x^{- 2} + 2$ .

$x \frac{d}{d x} [16 x^{- 2} + 2] + (16 x^{- 2} + 2) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $16 x^{- 2} + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [16 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$x (\frac{d}{d x} [16 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [2]) + (16 x^{- 2} + 2) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.2.2

Поскольку $16$ является константой относительно $x$ , производная $16 x^{- 2}$ по $x$ равна $16 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ .

$x (16 \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [2]) + (16 x^{- 2} + 2) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 2$ .

$x (16 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [2]) + (16 x^{- 2} + 2) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.2.4

Умножим $- 2$ на $16$ .

$x (- 32 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [2]) + (16 x^{- 2} + 2) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.2.5

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$x (- 32 x^{- 3} + 0) + (16 x^{- 2} + 2) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.2.6

Добавим $- 32 x^{- 3}$ и $0$ .

$x (- 32 x^{- 3}) + (16 x^{- 2} + 2) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 32 (x^{1} x^{- 3}) + (16 x^{- 2} + 2) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 32 x^{1 - 3} + (16 x^{- 2} + 2) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.5

Вычтем $3$ из $1$ .

$- 32 x^{- 2} + (16 x^{- 2} + 2) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 32 x^{- 2} + (16 x^{- 2} + 2) \cdot 1$

Этап 2.7

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Умножим $16 x^{- 2} + 2$ на $1$ .

$- 32 x^{- 2} + 16 x^{- 2} + 2$

Этап 2.7.2

Добавим $- 32 x^{- 2}$ и $16 x^{- 2}$ .

$- 16 x^{- 2} + 2$

Этап 2.7.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.3.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 16 \frac{1}{x^{2}} + 2$

Этап 2.7.3.2

Объединим $- 16$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 16}{x^{2}} + 2$

Этап 2.7.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{16}{x^{2}} + 2$

Этап 2.8

Найдем производную в $x = - 2$ .

$- \frac{16}{{(- 2)}^{2}} + 2$

Этап 2.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$- \frac{16}{4} + 2$

Этап 2.9.1.2

Разделим $16$ на $4$ .

$- 1 \cdot 4 + 2$

Этап 2.9.1.3

Умножим $- 1$ на $4$ .

$- 4 + 2$

Этап 2.9.2

Добавим $- 4$ и $2$ .

$- 2$

Этап 3

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем угловой коэффициент $- 2$ и координаты заданной точки $(- 2, - 12)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 12) = - 2 \cdot (x - (- 2))$

Этап 3.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y + 12 = - 2 \cdot (x + 2)$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим $- 2 \cdot (x + 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем.

$y + 12 = 0 + 0 - 2 \cdot (x + 2)$

Этап 3.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y + 12 = - 2 \cdot (x + 2)$

Этап 3.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y + 12 = - 2 x - 2 \cdot 2$

Этап 3.3.1.4

Умножим $- 2$ на $2$ .

$y + 12 = - 2 x - 4$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вычтем $12$ из обеих частей уравнения.

$y = - 2 x - 4 - 12$

Этап 3.3.2.2

Вычтем $12$ из $- 4$ .

$y = - 2 x - 16$

Этап 4