Математический анализ Примеры

$y = x^{\frac{2}{3}}$ , $(8, 4)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 8$ и $y = 4$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}$

Этап 1.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Этап 1.3

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Этап 1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}$

Этап 1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}$

Этап 1.5.2

Вычтем $3$ из $2$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}$

Этап 1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}$

Этап 1.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 1.7.2

Умножим $\frac{2}{3}$ на $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 1.8

Найдем производную в $x = 8$ .

$\frac{2}{3 {(8)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 1.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1.1

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$\frac{2}{3 \cdot {(2^{3})}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 1.9.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3 \cdot 2^{3 (\frac{1}{3})}}$

Этап 1.9.1.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{3 \cdot 2^{3 (\frac{1}{3})}}$

Этап 1.9.1.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{3 \cdot 2^{1}}$

Этап 1.9.1.4

Найдем экспоненту.

$\frac{2}{3 \cdot 2}$

Этап 1.9.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.2.1

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{2}{6}$

Этап 1.9.2.2

Сократим общий множитель $2$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (1)}{6}$

Этап 1.9.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

Этап 1.9.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

Этап 1.9.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3}$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $\frac{1}{3}$ и координаты заданной точки $(8, 4)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (4) = \frac{1}{3} \cdot (x - (8))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 4 = \frac{1}{3} \cdot (x - 8)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $\frac{1}{3} \cdot (x - 8)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y - 4 = 0 + 0 + \frac{1}{3} \cdot (x - 8)$

Этап 2.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - 4 = \frac{1}{3} \cdot (x - 8)$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 4 = \frac{1}{3} x + \frac{1}{3} \cdot - 8$

Этап 2.3.1.4

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x$ .

$y - 4 = \frac{x}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 8$

Этап 2.3.1.5

Объединим $\frac{1}{3}$ и $- 8$ .

$y - 4 = \frac{x}{3} + \frac{- 8}{3}$

Этап 2.3.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y - 4 = \frac{x}{3} - \frac{8}{3}$

Этап 2.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$y = \frac{x}{3} - \frac{8}{3} + 4$

Этап 2.3.2.2

Чтобы записать $4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x}{3} - \frac{8}{3} + 4 \cdot \frac{3}{3}$

Этап 2.3.2.3

Объединим $4$ и $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x}{3} - \frac{8}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3}$

Этап 2.3.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{x}{3} + \frac{- 8 + 4 \cdot 3}{3}$

Этап 2.3.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.5.1

Умножим $4$ на $3$ .

$y = \frac{x}{3} + \frac{- 8 + 12}{3}$

Этап 2.3.2.5.2

Добавим $- 8$ и $12$ .

$y = \frac{x}{3} + \frac{4}{3}$

Этап 2.3.3

Изменим порядок членов.

$y = \frac{1}{3} x + \frac{4}{3}$

Этап 3