Математический анализ Примеры

$f (x) = \sqrt{x + 1} + \sin (x)$ , $x = 0$

Этап 1

Рассмотрим функцию, используемую для нахождения линеаризации в $a$ .

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

Этап 2

Подставим значение $a = 0$ в функцию линеаризации.

$L (x) = f (0) + f' (0) (x - 0)$

Этап 3

Найдем значение $f (0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = \sqrt{(0) + 1} + \sin (0)$

Этап 3.2

Упростим $\sqrt{(0) + 1} + \sin (0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Избавимся от скобок.

$\sqrt{(0) + 1} + \sin (0)$

Этап 3.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Добавим $0$ и $1$ .

$\sqrt{1} + \sin (0)$

Этап 3.2.2.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$1 + \sin (0)$

Этап 3.2.2.3

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$1 + 0$

Этап 3.2.3

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 4

Найдем производную и ее значение при $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем производную $f (x) = \sqrt{x + 1} + \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

По правилу суммы производная $\sqrt{x + 1} + \sin (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 1}$ в виде ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 4.1.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 4.1.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 1$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 4.1.2.3

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 4.1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 4.1.2.5

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 4.1.2.6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 4.1.2.7

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 4.1.2.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 4.1.2.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.9.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 4.1.2.9.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 4.1.2.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 4.1.2.11

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 4.1.2.12

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 4.1.2.13

Умножим $\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ на $1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 4.1.2.14

Перенесем ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 4.1.3

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \cos (x)$

Этап 4.2

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$\frac{1}{2 {((0) + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \cos (0)$

Этап 4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1.1

Добавим $0$ и $1$ .

$\frac{1}{2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}} + \cos (0)$

Этап 4.3.1.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{2 \cdot 1} + \cos (0)$

Этап 4.3.1.2

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{1}{2} + \cos (0)$

Этап 4.3.1.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1}{2} + 1$

Этап 4.3.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{1}{2} + \frac{2}{2}$

Этап 4.3.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 + 2}{2}$

Этап 4.3.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{3}{2}$

Этап 5

Подставим компоненты в функцию линеаризации, чтобы найти линеаризацию в $a$ .

$L (x) = 1 + \frac{3}{2} (x - 0)$

Этап 6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вычтем $0$ из $x$ .

$L (x) = 1 + \frac{3}{2} x$

Этап 6.2

Объединим $\frac{3}{2}$ и $x$ .

$L (x) = 1 + \frac{3 x}{2}$

Этап 7