Математический анализ Примеры

$f (x) = 4 \csc (\frac{1}{4} π x + \frac{1}{3} π)$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$y = 4 \csc (\frac{1}{4} \cdot (π x) + \frac{1}{3} \cdot π)$

Этап 2

Избавимся от скобок.

$y = 4 \csc (\frac{1}{4} \cdot (π x) + \frac{1}{3} \cdot π)$

Этап 3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{1}{4} (π x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Объединим $π$ и $\frac{1}{4}$ .

$y = 4 \csc (\frac{π}{4} x + \frac{1}{3} \cdot π)$

Этап 3.1.2

Объединим $\frac{π}{4}$ и $x$ .

$y = 4 \csc (\frac{π x}{4} + \frac{1}{3} \cdot π)$

Этап 3.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $π$ .

$y = 4 \csc (\frac{π x}{4} + \frac{π}{3})$

Этап 4

Вертикальные асимптоты функции $y = \csc (x)$ находятся в точках $x = n π$ , где $n$ — целое число. Используя основной период $(0, 2 π)$ для $y = c s c (x)$ , найдем вертикальные асимптоты для $y = 4 \csc (\frac{π x}{4} + \frac{π}{3})$ . Положив аргумент косеканса, $b x + c$ , равным $0$ в выражении $y = a \csc (b x + c) + d$ , найдем положение вертикальной асимптоты для $y = 4 \csc (\frac{π x}{4} + \frac{π}{3})$ .

$\frac{π x}{4} + \frac{π}{3} = 0$

Этап 5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $\frac{π}{3}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{π x}{4} = - \frac{π}{3}$

Этап 5.2

Умножим обе части уравнения на $\frac{4}{π}$ .

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} (- \frac{π}{3})$

Этап 5.3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Упростим $\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} (- \frac{π}{3})$

Этап 5.3.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} (- \frac{π}{3})$

Этап 5.3.1.1.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $π$ из $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{4}{π} (- \frac{π}{3})$

Этап 5.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} (- \frac{π}{3})$

Этап 5.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{4}{π} (- \frac{π}{3})$

Этап 5.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Упростим $\frac{4}{π} (- \frac{π}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{π}{3}$ в числитель.

$x = \frac{4}{π} \cdot \frac{- π}{3}$

Этап 5.3.2.1.1.2

Вынесем множитель $π$ из $- π$ .

$x = \frac{4}{π} \cdot \frac{π \cdot - 1}{3}$

Этап 5.3.2.1.1.3

Сократим общий множитель.

$x = \frac{4}{π} \cdot \frac{π \cdot - 1}{3}$

Этап 5.3.2.1.1.4

Перепишем это выражение.

$x = 4 (\frac{- 1}{3})$

Этап 5.3.2.1.2

Объединим $4$ и $\frac{- 1}{3}$ .

$x = \frac{4 \cdot - 1}{3}$

Этап 5.3.2.1.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.3.1

Умножим $4$ на $- 1$ .

$x = \frac{- 4}{3}$

Этап 5.3.2.1.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{4}{3}$

Этап 6

Выражение внутри косеканса $\frac{π x}{4} + \frac{π}{3}$ приравняем $2 π$ .

$\frac{π x}{4} + \frac{π}{3} = 2 π$

Этап 7

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Вычтем $\frac{π}{3}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{π x}{4} = 2 π - \frac{π}{3}$

Этап 7.1.2

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π x}{4} = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 7.1.3

Объединим $2 π$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π x}{4} = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 7.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π x}{4} = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Этап 7.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.5.1

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{π x}{4} = \frac{6 π - π}{3}$

Этап 7.1.5.2

Вычтем $π$ из $6 π$ .

$\frac{π x}{4} = \frac{5 π}{3}$

Этап 7.2

Умножим обе части уравнения на $\frac{4}{π}$ .

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Этап 7.3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1

Упростим $\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Этап 7.3.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Этап 7.3.1.1.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $π$ из $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{4}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Этап 7.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Этап 7.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{4}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Этап 7.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Упростим $\frac{4}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1.1

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1.1.1

Вынесем множитель $π$ из $5 π$ .

$x = \frac{4}{π} \cdot \frac{π \cdot 5}{3}$

Этап 7.3.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{4}{π} \cdot \frac{π \cdot 5}{3}$

Этап 7.3.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$x = 4 (\frac{5}{3})$

Этап 7.3.2.1.2

Объединим $4$ и $\frac{5}{3}$ .

$x = \frac{4 \cdot 5}{3}$

Этап 7.3.2.1.3

Умножим $4$ на $5$ .

$x = \frac{20}{3}$

Этап 8

Основной период $y = 4 \csc (\frac{π x}{4} + \frac{π}{3})$ находится на промежутке $(- \frac{4}{3}, \frac{20}{3})$ , где $- \frac{4}{3}$ и $\frac{20}{3}$ являются вертикальными асимптотами.

$(- \frac{4}{3}, \frac{20}{3})$

Этап 9

Найдем период $\frac{2 π}{| b |}$ , чтобы узнать, где существуют вертикальные асимптоты. Вертикальные асимптоты встречаются каждую половину периода.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

$\frac{π}{4}$ приблизительно равно $0.78539816$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{2 π}{\frac{π}{4}}$

Этап 9.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 π \frac{4}{π}$

Этап 9.3

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Вынесем множитель $π$ из $2 π$ .

$π \cdot 2 \frac{4}{π}$

Этап 9.3.2

Сократим общий множитель.

$π \cdot 2 \frac{4}{π}$

Этап 9.3.3

Перепишем это выражение.

$2 \cdot 4$

Этап 9.4

Умножим $2$ на $4$ .

$8$

Этап 10

Вертикальные асимптоты $y = 4 \csc (\frac{π x}{4} + \frac{π}{3})$ находятся в $- \frac{4}{3}$ , $\frac{20}{3}$ и в каждой точке $x = - \frac{4}{3} + 4 n$ , где $n$ — целое число. Это половина периода.

$x = - \frac{4}{3} + 4 n$

Этап 11

У косеканса есть только вертикальные асимптоты.

Нет горизонтальных асимптот

Нет наклонных асимптот

Вертикальные асимптоты: $x = - \frac{4}{3} + 4 n$ , где $n$ — целое число

Этап 12