Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{6 x^{3} - 5 x}{3 x^{2} + x}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{6 x^{3} - 5 x}{3 x^{2} + x}$ не определено.

$x = - \frac{1}{3}, x = 0$

Этап 2

Поскольку $\frac{6 x^{3} - 5 x}{3 x^{2} + x}$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $- \frac{1}{3}$ слева, а $\frac{6 x^{3} - 5 x}{3 x^{2} + x}$ $\to$ $- \infty$ как $x$ $\to$ $- \frac{1}{3}$ справа, то $x = - \frac{1}{3}$ — вертикальная асимптота.

$x = - \frac{1}{3}$

Этап 3

Рассмотрим рациональную функцию $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где $n$ — степень числителя, а $m$ — степень знаменателя.

1. Если $n < m$ , тогда ось x, $y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если $n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия $y = \frac{a}{b}$ .

3. Если $n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Этап 4

Найдем $n$ и $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Этап 5

Поскольку $n > m$ , горизонтальная асимптота отсутствует.

Нет горизонтальных асимптот

Этап 6

Найдем наклонную асимптоту, используя деление многочленов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Вынесем множитель $x$ из $6 x^{3} - 5 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $6 x^{3}$ .

$\frac{x (6 x^{2}) - 5 x}{3 x^{2} + x}$

Этап 6.1.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- 5 x$ .

$\frac{x (6 x^{2}) + x \cdot - 5}{3 x^{2} + x}$

Этап 6.1.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x (6 x^{2}) + x \cdot - 5$ .

$\frac{x (6 x^{2} - 5)}{3 x^{2} + x}$

Этап 6.1.2

Вынесем множитель $x$ из $3 x^{2} + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $3 x^{2}$ .

$\frac{x (6 x^{2} - 5)}{x (3 x) + x}$

Этап 6.1.2.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x (6 x^{2} - 5)}{x (3 x) + x^{1}}$

Этап 6.1.2.3

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{x (6 x^{2} - 5)}{x (3 x) + x \cdot 1}$

Этап 6.1.2.4

Вынесем множитель $x$ из $x (3 x) + x \cdot 1$ .

$\frac{x (6 x^{2} - 5)}{x (3 x + 1)}$

Этап 6.1.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x (6 x^{2} - 5)}{x (3 x + 1)}$

Этап 6.1.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{6 x^{2} - 5}{3 x + 1}$

Этап 6.2

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$3 x$

$1$

$6 x^{2}$

$0 x$

$5$

Этап 6.3

Разделим член с максимальной степенью в делимом $6 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $3 x$ .

					$2 x$
	$3 x$	+	$1$		$6 x^{2}$	+	$0 x$	-	$5$

Этап 6.4

Умножим новое частное на делитель.

				$2 x$
$3 x$	+	$1$		$6 x^{2}$	+	$0 x$	-	$5$
			+	$6 x^{2}$	+	$2 x$

Этап 6.5

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $6 x^{2} + 2 x$ .

				$2 x$
$3 x$	+	$1$		$6 x^{2}$	+	$0 x$	-	$5$
			-	$6 x^{2}$	-	$2 x$

Этап 6.6

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 x$
$3 x$	+	$1$		$6 x^{2}$	+	$0 x$	-	$5$
			-	$6 x^{2}$	-	$2 x$
					-	$2 x$

Этап 6.7

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$2 x$
$3 x$	+	$1$		$6 x^{2}$	+	$0 x$	-	$5$
			-	$6 x^{2}$	-	$2 x$
					-	$2 x$	-	$5$

Этап 6.8

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 2 x$ на член с максимальной степенью в делителе $3 x$ .

				$2 x$	-	$\frac{2}{3}$
$3 x$	+	$1$		$6 x^{2}$	+	$0 x$	-	$5$
			-	$6 x^{2}$	-	$2 x$
					-	$2 x$	-	$5$

Этап 6.9

Умножим новое частное на делитель.

				$2 x$	-	$\frac{2}{3}$
$3 x$	+	$1$		$6 x^{2}$	+	$0 x$	-	$5$
			-	$6 x^{2}$	-	$2 x$
					-	$2 x$	-	$5$
					-	$2 x$	-	$\frac{2}{3}$

Этап 6.10

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 2 x - \frac{2}{3}$ .

				$2 x$	-	$\frac{2}{3}$
$3 x$	+	$1$		$6 x^{2}$	+	$0 x$	-	$5$
			-	$6 x^{2}$	-	$2 x$
					-	$2 x$	-	$5$
					+	$2 x$	+	$\frac{2}{3}$

Этап 6.11

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 x$	-	$\frac{2}{3}$
$3 x$	+	$1$		$6 x^{2}$	+	$0 x$	-	$5$
			-	$6 x^{2}$	-	$2 x$
					-	$2 x$	-	$5$
					+	$2 x$	+	$\frac{2}{3}$
							-	$\frac{13}{3}$

Этап 6.12

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$2 x - \frac{2}{3} - \frac{13}{3 (3 x + 1)}$

Этап 6.13

Разобьем решение на многочлен и остаток.

$2 x - \frac{2}{3} + \frac{- \frac{13 x}{3}}{3 x^{2} + x}$

Этап 6.14

Наклонная асимптота ― это полиномиальная часть результата деления в столбик.

$y = 2 x - \frac{2}{3}$

Этап 7

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = - \frac{1}{3}$

Нет горизонтальных асимптот

Наклонные асимптоты: $y = 2 x - \frac{2}{3}$

Этап 8