Математический анализ Примеры

$y = \frac{10}{x}$ , $[1, e]$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$\frac{10}{x} = 0$

Этап 1.2

Решим $\frac{10}{x} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Приравняем числитель к нулю.

$10 = 0$

Этап 1.2.2

Поскольку $10 \neq 0$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Этап 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{1}^{e} \frac{10}{x} d x - \int_{1}^{e} 0 d x$

Этап 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $1$ и $e$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{1}^{e} \frac{10}{x} - (0) d x$

Этап 3.2

Вычтем $0$ из $\frac{10}{x}$ .

$\int_{1}^{e} \frac{10}{x} d x$

Этап 3.3

Поскольку $10$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $10$ из-под знака интеграла.

$10 \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

Этап 3.4

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$10 (\ln (| x |)]_{1}^{e})$

Этап 3.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Найдем значение $\ln (| x |)$ в $e$ и в $1$ .

$10 (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$

Этап 3.5.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$10 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

Этап 3.5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

$e$ приблизительно равно $2.71828182$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$10 \ln (\frac{e}{| 1 |})$

Этап 3.5.3.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$10 \ln (\frac{e}{1})$

Этап 3.5.3.3

Разделим $e$ на $1$ .

$10 \ln (e)$

Этап 3.5.3.4

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$10 \cdot 1$

Этап 3.5.3.5

Умножим $10$ на $1$ .

$10$

Этап 4