Математический анализ Примеры

$y = \frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x})$ , $[0, 2]$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$\frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2} = 0$

Этап 1.2

Решим $\frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перенесем $\frac{e^{- x}}{2}$ в правую часть уравнения, вычтя данный член из обеих частей.

$\frac{e^{x}}{2} = - \frac{e^{- x}}{2}$

Этап 1.2.2

Поскольку выражения в каждой части уравнения имеют одинаковые знаменатели, числители должны быть равны.

$e^{x} = - e^{- x}$

Этап 1.2.3

Построим график каждой части уравнения. Решение — абсцисса (координата x) точки пересечения.

Нет решения

Этап 2

Упростим $\frac{1}{2} \cdot (e^{x} + e^{- x})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{1}{2} e^{x} + \frac{1}{2} e^{- x}$

Этап 2.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $e^{x}$ .

$y = \frac{e^{x}}{2} + \frac{1}{2} e^{- x}$

Этап 2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $e^{- x}$ .

$y = \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2}$

Этап 3

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{0}^{2} \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2} d x - \int_{0}^{2} 0 d x$

Этап 4

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{0}^{2} \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2} - (0) d x$

Этап 4.2

Вычтем $0$ из $\frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2}$ .

$\int_{0}^{2} \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2} d x$

Этап 4.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{2} \frac{e^{x}}{2} d x + \int_{0}^{2} \frac{e^{- x}}{2} d x$

Этап 4.4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{2} e^{x} d x + \int_{0}^{2} \frac{e^{- x}}{2} d x$

Этап 4.5

Интеграл $e^{x}$ по $x$ имеет вид $e^{x}$ .

$\frac{1}{2} e^{x}]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} \frac{e^{- x}}{2} d x$

Этап 4.6

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} e^{x}]_{0}^{2} + \frac{1}{2} \int_{0}^{2} e^{- x} d x$

Этап 4.7

Пусть $u = - x$ . Тогда $d u = - d x$ , следовательно $- d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Пусть $u = - x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1.1

Дифференцируем $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Этап 4.7.1.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.7.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Этап 4.7.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 4.7.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = - x$ .

$u_{lower} = - 0$

Этап 4.7.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 4.7.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = - x$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 2$

Этап 4.7.5

Умножим $- 1$ на $2$ .

$u_{upper} = - 2$

Этап 4.7.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 2$

Этап 4.7.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\frac{1}{2} e^{x}]_{0}^{2} + \frac{1}{2} \int_{0}^{- 2} - e^{u} d u$

Этап 4.8

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} e^{x}]_{0}^{2} + \frac{1}{2} (- \int_{0}^{- 2} e^{u} d u)$

Этап 4.9

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} e^{x}]_{0}^{2} + \frac{1}{2} (- (e^{u}]_{0}^{- 2}))$

Этап 4.10

Объединим $\frac{1}{2}$ и $e^{u}]_{0}^{- 2}$ .

$\frac{1}{2} e^{x}]_{0}^{2} - \frac{e^{u}]_{0}^{- 2}}{2}$

Этап 4.11

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.1

Найдем значение $e^{x}$ в $2$ и в $0$ .

$\frac{1}{2} ((e^{2}) - e^{0}) - \frac{e^{u}]_{0}^{- 2}}{2}$

Этап 4.11.2

Найдем значение $e^{u}$ в $- 2$ и в $0$ .

$\frac{1}{2} ((e^{2}) - e^{0}) - \frac{(e^{- 2}) - e^{0}}{2}$

Этап 4.11.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.3.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{1}{2} (e^{2} - 1 \cdot 1) - \frac{(e^{- 2}) - e^{0}}{2}$

Этап 4.11.3.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{2} (e^{2} - 1) - \frac{(e^{- 2}) - e^{0}}{2}$

Этап 4.11.3.3

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{1}{2} (e^{2} - 1) - \frac{e^{- 2} - 1 \cdot 1}{2}$

Этап 4.11.3.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{2} (e^{2} - 1) - \frac{e^{- 2} - 1}{2}$

Этап 4.11.3.5

Чтобы записать $\frac{1}{2} (e^{2} - 1)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (e^{2} - 1) \cdot \frac{2}{2} - \frac{e^{- 2} - 1}{2}$

Этап 4.11.3.6

Объединим $\frac{1}{2} (e^{2} - 1)$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2} (e^{2} - 1) \cdot 2}{2} - \frac{e^{- 2} - 1}{2}$

Этап 4.11.3.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{1}{2} (e^{2} - 1) \cdot 2 - (e^{- 2} - 1)}{2}$

Этап 4.11.3.8

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{2}{2} (e^{2} - 1) - (e^{- 2} - 1)}{2}$

Этап 4.11.3.9

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.3.9.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{2}{2} (e^{2} - 1) - (e^{- 2} - 1)}{2}$

Этап 4.11.3.9.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 (e^{2} - 1) - (e^{- 2} - 1)}{2}$

Этап 4.11.3.10

Умножим $e^{2} - 1$ на $1$ .

$\frac{e^{2} - 1 - (e^{- 2} - 1)}{2}$

Этап 5

Сложим площади $\frac{e^{2} - 1 - (e^{- 2} - 1)}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{e^{2} - 1 - (\frac{1}{e^{2}} - 1)}{2}$

Этап 5.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{e^{2} - 1 - \frac{1}{e^{2}} - - 1}{2}$

Этап 5.1.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{e^{2} - 1 - \frac{1}{e^{2}} + 1}{2}$

Этап 5.1.4

Добавим $- 1$ и $1$ .

$\frac{e^{2} - \frac{1}{e^{2}} + 0}{2}$

Этап 5.1.5

Добавим $e^{2} - \frac{1}{e^{2}}$ и $0$ .

$\frac{e^{2} - \frac{1}{e^{2}}}{2}$

Этап 5.1.6

Перепишем $e^{2} - \frac{1}{e^{2}}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.6.1

Перепишем $\frac{1}{e^{2}}$ в виде ${(\frac{1}{e})}^{2}$ .

$\frac{e^{2} - {(\frac{1}{e})}^{2}}{2}$

Этап 5.1.6.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = e$ и $b = \frac{1}{e}$ .

$\frac{(e + \frac{1}{e}) (e - \frac{1}{e})}{2}$

Этап 5.1.7

Чтобы записать $e$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{e}{e}$ .

$\frac{(\frac{e e}{e} + \frac{1}{e}) (e - \frac{1}{e})}{2}$

Этап 5.1.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{e e + 1}{e} (e - \frac{1}{e})}{2}$

Этап 5.1.9

Умножим $e e$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.9.1

Возведем $e$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{e^{1} e + 1}{e} (e - \frac{1}{e})}{2}$

Этап 5.1.9.2

Возведем $e$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{e^{1} e^{1} + 1}{e} (e - \frac{1}{e})}{2}$

Этап 5.1.9.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{e^{1 + 1} + 1}{e} (e - \frac{1}{e})}{2}$

Этап 5.1.9.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} (e - \frac{1}{e})}{2}$

Этап 5.1.10

Чтобы записать $e$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{e}{e}$ .

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} (\frac{e e}{e} - \frac{1}{e})}{2}$

Этап 5.1.11

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} \cdot \frac{e e - 1}{e}}{2}$

Этап 5.1.12

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.12.1

Умножим $e e$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.12.1.1

Возведем $e$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} \cdot \frac{e^{1} e - 1}{e}}{2}$

Этап 5.1.12.1.2

Возведем $e$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} \cdot \frac{e^{1} e^{1} - 1}{e}}{2}$

Этап 5.1.12.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} \cdot \frac{e^{1 + 1} - 1}{e}}{2}$

Этап 5.1.12.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} \cdot \frac{e^{2} - 1}{e}}{2}$

Этап 5.1.12.2

Перепишем $e^{2} - 1$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.12.2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} \cdot \frac{e^{2} - 1^{2}}{e}}{2}$

Этап 5.1.12.2.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = e$ и $b = 1$ .

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} \cdot \frac{(e + 1) (e - 1)}{e}}{2}$

Этап 5.2

Умножим $\frac{e^{2} + 1}{e}$ на $\frac{(e + 1) (e - 1)}{e}$ .

$\frac{\frac{(e^{2} + 1) ((e + 1) (e - 1))}{e e}}{2}$

Этап 5.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Возведем $e$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{e^{1} e}}{2}$

Этап 5.3.2

Возведем $e$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{e^{1} e^{1}}}{2}$

Этап 5.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{e^{1 + 1}}}{2}$

Этап 5.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{e^{2}}}{2}$

Этап 5.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{e^{2}} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 5.5

Объединим.

$\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1) \cdot 1}{e^{2} \cdot 2}$

Этап 5.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Умножим $e^{2} + 1$ на $1$ .

$\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{e^{2} \cdot 2}$

Этап 5.6.2

Перенесем $2$ влево от $e^{2}$ .

$\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{2 e^{2}}$

Этап 6