Математический анализ Примеры

$y = 2 x^{3} + 12 x^{2} + 16 x$ , $- 4 \leq x \leq 0$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$2 x^{3} + 12 x^{2} + 16 x = 0$

Этап 1.2

Решим $2 x^{3} + 12 x^{2} + 16 x = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x^{3} + 12 x^{2} + 16 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1.1

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x^{3}$ .

$2 x (x^{2}) + 12 x^{2} + 16 x = 0$

Этап 1.2.1.1.2

Вынесем множитель $2 x$ из $12 x^{2}$ .

$2 x (x^{2}) + 2 x (6 x) + 16 x = 0$

Этап 1.2.1.1.3

Вынесем множитель $2 x$ из $16 x$ .

$2 x (x^{2}) + 2 x (6 x) + 2 x (8) = 0$

Этап 1.2.1.1.4

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (x^{2}) + 2 x (6 x)$ .

$2 x (x^{2} + 6 x) + 2 x (8) = 0$

Этап 1.2.1.1.5

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (x^{2} + 6 x) + 2 x (8)$ .

$2 x (x^{2} + 6 x + 8) = 0$

Этап 1.2.1.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.2.1

Разложим $x^{2} + 6 x + 8$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $8$ , а сумма — $6$ .

$2, 4 + y = 0$

Этап 1.2.1.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$2 x ((x + 2) (x + 4)) = 0$

Этап 1.2.1.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 x (x + 2) (x + 4) = 0$

Этап 1.2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x + 4 = 0 + y = 0$

Этап 1.2.3

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 1.2.4

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 1.2.4.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 1.2.5

Приравняем $x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Приравняем $x + 4$ к $0$ .

$x + 4 = 0$

Этап 1.2.5.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 1.2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 x (x + 2) (x + 4) = 0$ верно.

$x = 0, - 2, - 4$

Этап 1.3

Подставим $0$ вместо $x$ .

$y = 0$

Этап 1.4

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(0, 0)$

$(- 2, 0)$

$(- 4, 0)$

$(0, 0)$

$(- 2, 0)$

$(- 4, 0)$

Этап 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{- 4}^{- 2} 2 x^{3} + 12 x^{2} + 16 x d x - \int_{- 4}^{- 2} 0 d x$

Этап 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $- 4$ и $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{- 4}^{- 2} 2 x^{3} + 12 x^{2} + 16 x - (0) d x$

Этап 3.2

Вычтем $0$ из $2 x^{3} + 12 x^{2} + 16 x$ .

$\int_{- 4}^{- 2} 2 x^{3} + 12 x^{2} + 16 x d x$

Этап 3.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 4}^{- 2} 2 x^{3} d x + \int_{- 4}^{- 2} 12 x^{2} d x + \int_{- 4}^{- 2} 16 x d x$

Этап 3.4

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int_{- 4}^{- 2} x^{3} d x + \int_{- 4}^{- 2} 12 x^{2} d x + \int_{- 4}^{- 2} 16 x d x$

Этап 3.5

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$2 (\frac{1}{4} x^{4}]_{- 4}^{- 2}) + \int_{- 4}^{- 2} 12 x^{2} d x + \int_{- 4}^{- 2} 16 x d x$

Этап 3.6

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$2 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 4}^{- 2}) + \int_{- 4}^{- 2} 12 x^{2} d x + \int_{- 4}^{- 2} 16 x d x$

Этап 3.7

Поскольку $12$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $12$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 4}^{- 2}) + 12 \int_{- 4}^{- 2} x^{2} d x + \int_{- 4}^{- 2} 16 x d x$

Этап 3.8

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 4}^{- 2}) + 12 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 4}^{- 2}) + \int_{- 4}^{- 2} 16 x d x$

Этап 3.9

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$2 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 4}^{- 2}) + 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{- 2}) + \int_{- 4}^{- 2} 16 x d x$

Этап 3.10

Поскольку $16$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $16$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 4}^{- 2}) + 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{- 2}) + 16 \int_{- 4}^{- 2} x d x$

Этап 3.11

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 4}^{- 2}) + 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{- 2}) + 16 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 4}^{- 2})$

Этап 3.12

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 4}^{- 2}) + 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{- 2}) + 16 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{- 2})$

Этап 3.12.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.2.1

Найдем значение $\frac{x^{4}}{4}$ в $- 2$ и в $- 4$ .

$2 ((\frac{{(- 2)}^{4}}{4}) - \frac{{(- 4)}^{4}}{4}) + 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{- 2}) + 16 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{- 2})$

Этап 3.12.2.2

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $- 2$ и в $- 4$ .

$2 (\frac{{(- 2)}^{4}}{4} - \frac{{(- 4)}^{4}}{4}) + 12 (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}) + 16 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{- 2})$

Этап 3.12.2.3

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $- 2$ и в $- 4$ .

$2 (\frac{{(- 2)}^{4}}{4} - \frac{{(- 4)}^{4}}{4}) + 12 (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}) + 16 ((\frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 3.12.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.2.4.1

Возведем $- 2$ в степень $4$ .

$2 (\frac{16}{4} - \frac{{(- 4)}^{4}}{4}) + 12 (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}) + 16 ((\frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 3.12.2.4.2

Сократим общий множитель $16$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.2.4.2.1

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$2 (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{{(- 4)}^{4}}{4}) + 12 (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}) + 16 ((\frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 3.12.2.4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.2.4.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$2 (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{{(- 4)}^{4}}{4}) + 12 (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}) + 16 ((\frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 3.12.2.4.2.2.2

Сократим общий множитель.

$2 (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{{(- 4)}^{4}}{4}) + 12 (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}) + 16 ((\frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 3.12.2.4.2.2.3

Перепишем это выражение.

$2 (\frac{4}{1} - \frac{{(- 4)}^{4}}{4}) + 12 (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}) + 16 ((\frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 3.12.2.4.2.2.4

Разделим $4$ на $1$ .

$2 (4 - \frac{{(- 4)}^{4}}{4}) + 12 (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}) + 16 ((\frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 3.12.2.4.3

Возведем $- 4$ в степень $4$ .

$2 (4 - \frac{256}{4}) + 12 (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}) + 16 ((\frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 3.12.2.4.4

Сократим общий множитель $256$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.2.4.4.1

Вынесем множитель $4$ из $256$ .

$2 (4 - \frac{4 \cdot 64}{4}) + 12 (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}) + 16 ((\frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 3.12.2.4.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.2.4.4.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$2 (4 - \frac{4 \cdot 64}{4 (1)}) + 12 (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}) + 16 ((\frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 3.12.2.4.4.2.2

Сократим общий множитель.

$2 (4 - \frac{4 \cdot 64}{4 \cdot 1}) + 12 (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}) + 16 ((\frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 3.12.2.4.4.2.3

Перепишем это выражение.

$2 (4 - \frac{64}{1}) + 12 (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}) + 16 ((\frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 3.12.2.4.4.2.4

Разделим $64$ на $1$ .

$2 (4 - 1 \cdot 64) + 12 (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}) + 16 ((\frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 3.12.2.4.5

Умножим $- 1$ на $64$ .

$2 (4 - 64) + 12 (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}) + 16 ((\frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 3.12.2.4.6

Вычтем $64$ из $4$ .

$2 \cdot - 60 + 12 (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}) + 16 ((\frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 3.12.2.4.7

Умножим $2$ на $- 60$ .

$- 120 + 12 (\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}) + 16 ((\frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 3.12.2.4.8

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$- 120 + 12 (\frac{- 8}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}) + 16 ((\frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 3.12.2.4.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- 120 + 12 (- \frac{8}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}) + 16 ((\frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 3.12.2.4.10

Возведем $- 4$ в степень $3$ .

$- 120 + 12 (- \frac{8}{3} - \frac{- 64}{3}) + 16 ((\frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 3.12.2.4.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- 120 + 12 (- \frac{8}{3} - - \frac{64}{3}) + 16 ((\frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 3.12.2.4.12

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- 120 + 12 (- \frac{8}{3} + 1 (\frac{64}{3})) + 16 ((\frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 3.12.2.4.13

Умножим $\frac{64}{3}$ на $1$ .

$- 120 + 12 (- \frac{8}{3} + \frac{64}{3}) + 16 ((\frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 3.12.2.4.14

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 120 + 12 \frac{- 8 + 64}{3} + 16 ((\frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 3.12.2.4.15

Добавим $- 8$ и $64$ .

$- 120 + 12 (\frac{56}{3}) + 16 ((\frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 3.12.2.4.16

Объединим $12$ и $\frac{56}{3}$ .

$- 120 + \frac{12 \cdot 56}{3} + 16 ((\frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 3.12.2.4.17

Умножим $12$ на $56$ .

$- 120 + \frac{672}{3} + 16 ((\frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 3.12.2.4.18

Сократим общий множитель $672$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.2.4.18.1

Вынесем множитель $3$ из $672$ .

$- 120 + \frac{3 \cdot 224}{3} + 16 ((\frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 3.12.2.4.18.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.2.4.18.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$- 120 + \frac{3 \cdot 224}{3 (1)} + 16 ((\frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 3.12.2.4.18.2.2

Сократим общий множитель.

$- 120 + \frac{3 \cdot 224}{3 \cdot 1} + 16 ((\frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 3.12.2.4.18.2.3

Перепишем это выражение.

$- 120 + \frac{224}{1} + 16 ((\frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 3.12.2.4.18.2.4

Разделим $224$ на $1$ .

$- 120 + 224 + 16 ((\frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 3.12.2.4.19

Добавим $- 120$ и $224$ .

$104 + 16 ((\frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 3.12.2.4.20

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$104 + 16 (\frac{4}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 3.12.2.4.21

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.2.4.21.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$104 + 16 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 3.12.2.4.21.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.2.4.21.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$104 + 16 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 3.12.2.4.21.2.2

Сократим общий множитель.

$104 + 16 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 3.12.2.4.21.2.3

Перепишем это выражение.

$104 + 16 (\frac{2}{1} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 3.12.2.4.21.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$104 + 16 (2 - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Этап 3.12.2.4.22

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$104 + 16 (2 - \frac{16}{2})$

Этап 3.12.2.4.23

Сократим общий множитель $16$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.2.4.23.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$104 + 16 (2 - \frac{2 \cdot 8}{2})$

Этап 3.12.2.4.23.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.2.4.23.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$104 + 16 (2 - \frac{2 \cdot 8}{2 (1)})$

Этап 3.12.2.4.23.2.2

Сократим общий множитель.

$104 + 16 (2 - \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1})$

Этап 3.12.2.4.23.2.3

Перепишем это выражение.

$104 + 16 (2 - \frac{8}{1})$

Этап 3.12.2.4.23.2.4

Разделим $8$ на $1$ .

$104 + 16 (2 - 1 \cdot 8)$

Этап 3.12.2.4.24

Умножим $- 1$ на $8$ .

$104 + 16 (2 - 8)$

Этап 3.12.2.4.25

Вычтем $8$ из $2$ .

$104 + 16 \cdot - 6$

Этап 3.12.2.4.26

Умножим $16$ на $- 6$ .

$104 - 96$

Этап 3.12.2.4.27

Вычтем $96$ из $104$ .

$8$

Этап 4

$A r e a = \int_{- 2}^{0} 0 d x - \int_{- 2}^{0} 2 x^{3} + 12 x^{2} + 16 x d x$

Этап 5

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $- 2$ и $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{- 2}^{0} 0 - (2 x^{3} + 12 x^{2} + 16 x) d x$

Этап 5.2

Вычтем $2 x^{3} + 12 x^{2} + 16 x$ из $0$ .

$\int_{- 2}^{0} - (2 x^{3} + 12 x^{2} + 16 x) d x$

Этап 5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int_{- 2}^{0} - (2 x^{3}) - (12 x^{2}) - (16 x) d x$

Этап 5.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 x^{3} - (12 x^{2}) - (16 x)$

Этап 5.4.2

Умножим $12$ на $- 1$ .

$- 2 x^{3} - 12 x^{2} - (16 x)$

Этап 5.4.3

Умножим $16$ на $- 1$ .

$- 2 x^{3} - 12 x^{2} - 16 x$

$\int_{- 2}^{0} - 2 x^{3} - 12 x^{2} - 16 x d x$

Этап 5.5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 2}^{0} - 2 x^{3} d x + \int_{- 2}^{0} - 12 x^{2} d x + \int_{- 2}^{0} - 16 x d x$

Этап 5.6

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$- 2 \int_{- 2}^{0} x^{3} d x + \int_{- 2}^{0} - 12 x^{2} d x + \int_{- 2}^{0} - 16 x d x$

Этап 5.7

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$- 2 (\frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{0}) + \int_{- 2}^{0} - 12 x^{2} d x + \int_{- 2}^{0} - 16 x d x$

Этап 5.8

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$- 2 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 2}^{0}) + \int_{- 2}^{0} - 12 x^{2} d x + \int_{- 2}^{0} - 16 x d x$

Этап 5.9

Поскольку $- 12$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 12$ из-под знака интеграла.

$- 2 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 2}^{0}) - 12 \int_{- 2}^{0} x^{2} d x + \int_{- 2}^{0} - 16 x d x$

Этап 5.10

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- 2 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 2}^{0}) - 12 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{0}) + \int_{- 2}^{0} - 16 x d x$

Этап 5.11

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$- 2 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 2}^{0}) - 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{0}) + \int_{- 2}^{0} - 16 x d x$

Этап 5.12

Поскольку $- 16$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 16$ из-под знака интеграла.

$- 2 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 2}^{0}) - 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{0}) - 16 \int_{- 2}^{0} x d x$

Этап 5.13

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 2 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 2}^{0}) - 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{0}) - 16 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 2}^{0})$

Этап 5.14

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.14.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$- 2 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 2}^{0}) - 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{0}) - 16 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{0})$

Этап 5.14.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.14.2.1

Найдем значение $\frac{x^{4}}{4}$ в $0$ и в $- 2$ .

$- 2 ((\frac{0^{4}}{4}) - \frac{{(- 2)}^{4}}{4}) - 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{0}) - 16 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{0})$

Этап 5.14.2.2

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $0$ и в $- 2$ .

$- 2 (\frac{0^{4}}{4} - \frac{{(- 2)}^{4}}{4}) - 12 (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - 16 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{0})$

Этап 5.14.2.3

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $0$ и в $- 2$ .

$- 2 (\frac{0^{4}}{4} - \frac{{(- 2)}^{4}}{4}) - 12 (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - 16 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.14.2.4.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- 2 (\frac{0}{4} - \frac{{(- 2)}^{4}}{4}) - 12 (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - 16 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.2

Сократим общий множитель $0$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.14.2.4.2.1

Вынесем множитель $4$ из $0$ .

$- 2 (\frac{4 (0)}{4} - \frac{{(- 2)}^{4}}{4}) - 12 (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - 16 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.14.2.4.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$- 2 (\frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} - \frac{{(- 2)}^{4}}{4}) - 12 (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - 16 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.2.2.2

Сократим общий множитель.

$- 2 (\frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} - \frac{{(- 2)}^{4}}{4}) - 12 (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - 16 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.2.2.3

Перепишем это выражение.

$- 2 (\frac{0}{1} - \frac{{(- 2)}^{4}}{4}) - 12 (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - 16 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.2.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$- 2 (0 - \frac{{(- 2)}^{4}}{4}) - 12 (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - 16 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.3

Возведем $- 2$ в степень $4$ .

$- 2 (0 - \frac{16}{4}) - 12 (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - 16 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.4

Сократим общий множитель $16$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.14.2.4.4.1

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$- 2 (0 - \frac{4 \cdot 4}{4}) - 12 (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - 16 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.14.2.4.4.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$- 2 (0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}) - 12 (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - 16 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.4.2.2

Сократим общий множитель.

$- 2 (0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}) - 12 (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - 16 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.4.2.3

Перепишем это выражение.

$- 2 (0 - \frac{4}{1}) - 12 (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - 16 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.4.2.4

Разделим $4$ на $1$ .

$- 2 (0 - 1 \cdot 4) - 12 (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - 16 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.5

Умножим $- 1$ на $4$ .

$- 2 (0 - 4) - 12 (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - 16 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.6

Вычтем $4$ из $0$ .

$- 2 \cdot - 4 - 12 (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - 16 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.7

Умножим $- 2$ на $- 4$ .

$8 - 12 (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - 16 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.8

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$8 - 12 (\frac{0}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - 16 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.9

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.14.2.4.9.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$8 - 12 (\frac{3 (0)}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - 16 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.14.2.4.9.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$8 - 12 (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - 16 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.9.2.2

Сократим общий множитель.

$8 - 12 (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - 16 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.9.2.3

Перепишем это выражение.

$8 - 12 (\frac{0}{1} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - 16 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.9.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$8 - 12 (0 - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - 16 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.10

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$8 - 12 (0 - \frac{- 8}{3}) - 16 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$8 - 12 (0 - - \frac{8}{3}) - 16 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.12

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$8 - 12 (0 + 1 (\frac{8}{3})) - 16 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.13

Умножим $\frac{8}{3}$ на $1$ .

$8 - 12 (0 + \frac{8}{3}) - 16 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.14

Добавим $0$ и $\frac{8}{3}$ .

$8 - 12 (\frac{8}{3}) - 16 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.15

Объединим $- 12$ и $\frac{8}{3}$ .

$8 + \frac{- 12 \cdot 8}{3} - 16 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.16

Умножим $- 12$ на $8$ .

$8 + \frac{- 96}{3} - 16 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.17

Сократим общий множитель $- 96$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.14.2.4.17.1

Вынесем множитель $3$ из $- 96$ .

$8 + \frac{3 \cdot - 32}{3} - 16 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.17.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.14.2.4.17.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$8 + \frac{3 \cdot - 32}{3 (1)} - 16 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.17.2.2

Сократим общий множитель.

$8 + \frac{3 \cdot - 32}{3 \cdot 1} - 16 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.17.2.3

Перепишем это выражение.

$8 + \frac{- 32}{1} - 16 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.17.2.4

Разделим $- 32$ на $1$ .

$8 - 32 - 16 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.18

Вычтем $32$ из $8$ .

$- 24 - 16 ((\frac{0^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.19

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- 24 - 16 (\frac{0}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.20

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.14.2.4.20.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$- 24 - 16 (\frac{2 (0)}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.20.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.14.2.4.20.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- 24 - 16 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.20.2.2

Сократим общий множитель.

$- 24 - 16 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.20.2.3

Перепишем это выражение.

$- 24 - 16 (\frac{0}{1} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.20.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$- 24 - 16 (0 - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Этап 5.14.2.4.21

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$- 24 - 16 (0 - \frac{4}{2})$

Этап 5.14.2.4.22

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.14.2.4.22.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$- 24 - 16 (0 - \frac{2 \cdot 2}{2})$

Этап 5.14.2.4.22.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.14.2.4.22.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- 24 - 16 (0 - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)})$

Этап 5.14.2.4.22.2.2

Сократим общий множитель.

$- 24 - 16 (0 - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1})$

Этап 5.14.2.4.22.2.3

Перепишем это выражение.

$- 24 - 16 (0 - \frac{2}{1})$

Этап 5.14.2.4.22.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$- 24 - 16 (0 - 1 \cdot 2)$

Этап 5.14.2.4.23

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 24 - 16 (0 - 2)$

Этап 5.14.2.4.24

Вычтем $2$ из $0$ .

$- 24 - 16 \cdot - 2$

Этап 5.14.2.4.25

Умножим $- 16$ на $- 2$ .

$- 24 + 32$

Этап 5.14.2.4.26

Добавим $- 24$ и $32$ .

$8$

Этап 6

Добавим $8$ и $8$ .

$16$

Этап 7