Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x}$ не определено.

$x = 0$

Этап 2

Вычислим $lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x}$ , чтобы определить горизонтальную асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}{1}$

Этап 2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}{1}$

Этап 2.1.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Этап 2.1.3

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Этап 2.1.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Этап 2.1.5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{\sqrt{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Этап 2.2

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x^{2}}$ стремится к $0$ .

$\frac{\sqrt{1 + 0}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Этап 2.3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{\sqrt{1 + 0}}{1}$

Этап 2.3.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Разделим $\sqrt{1 + 0}$ на $1$ .

$\sqrt{1 + 0}$

Этап 2.3.2.2

Добавим $1$ и $0$ .

$\sqrt{1}$

Этап 2.3.2.3

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$1$

Этап 3

Вычислим $lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x}$ , чтобы определить горизонтальную асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}{1}$

Этап 3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}{1}$

Этап 3.1.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}$

Этап 3.1.3

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}$

Этап 3.1.4

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}$

Этап 3.1.5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 1 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}$

Этап 3.1.6

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{1 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}$

Этап 3.2

$\frac{- \sqrt{1 + 0}}{lim_{x \to - \infty} 1}$

Этап 3.3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{1 + 0}}{1}$

Этап 3.3.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Разделим $- \sqrt{1 + 0}$ на $1$ .

$- \sqrt{1 + 0}$

Этап 3.3.2.2

Добавим $1$ и $0$ .

$- \sqrt{1}$

Этап 3.3.2.3

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Этап 3.3.2.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 4

Перечислим горизонтальные асимптоты:

$y = 1, - 1$

Этап 5

Применим деление многочленов для нахождения наклонных асимптот. Поскольку это выражение содержит радикал, полиномиальное деление невозможно.

Не удается найти наклонные асимптоты

Этап 6

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = 0$

Горизонтальные асимптоты: $y = 1, - 1$

Не удается найти наклонные асимптоты

Этап 7