Математический анализ Примеры

$y = x^{2} + 2$ , $[0, 1]$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$x^{2} + 2 = 0$

Этап 1.2

Решим $x^{2} + 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 2$

Этап 1.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 2}$

Этап 1.2.3

Упростим $\pm \sqrt{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Перепишем $- 2$ в виде $- 1 (2)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

Этап 1.2.3.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (2)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

Этап 1.2.3.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \sqrt{2}$

Этап 1.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = i \sqrt{2}$

Этап 1.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - i \sqrt{2}$

Этап 1.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Этап 1.3

Подставим $i \sqrt{2}$ вместо $x$ .

$y = 0$

Этап 1.4

Перечислим все решения.

$y = 0, x = i \sqrt{2}$

$y = 0, x = - i \sqrt{2}$

$y = 0, x = i \sqrt{2}$

$y = 0, x = - i \sqrt{2}$

Этап 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{0}^{1} x^{2} + 2 d x - \int_{0}^{1} 0 d x$

Этап 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $0$ и $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{0}^{1} x^{2} + 2 - (0) d x$

Этап 3.2

Вычтем $0$ из $x^{2} + 2$ .

$\int_{0}^{1} x^{2} + 2 d x$

Этап 3.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} 2 d x$

Этап 3.4

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} 2 d x$

Этап 3.5

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} + 2 x]_{0}^{1}$

Этап 3.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Объединим $\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}$ и $2 x]_{0}^{1}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + 2 x]_{0}^{1}$

Этап 3.6.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Найдем значение $\frac{1}{3} x^{3} + 2 x$ в $1$ и в $0$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1) - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 2 \cdot 0)$

Этап 3.6.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 \cdot 1 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 2 \cdot 0)$

Этап 3.6.2.2.2

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$\frac{1}{3} + 2 \cdot 1 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 2 \cdot 0)$

Этап 3.6.2.2.3

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{1}{3} + 2 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 2 \cdot 0)$

Этап 3.6.2.2.4

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 2 \cdot 0)$

Этап 3.6.2.2.5

Объединим $2$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 2 \cdot 0)$

Этап 3.6.2.2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 + 2 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 2 \cdot 0)$

Этап 3.6.2.2.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.7.1

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{1 + 6}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 2 \cdot 0)$

Этап 3.6.2.2.7.2

Добавим $1$ и $6$ .

$\frac{7}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 2 \cdot 0)$

Этап 3.6.2.2.8

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{7}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0 + 2 \cdot 0)$

Этап 3.6.2.2.9

Умножим $\frac{1}{3}$ на $0$ .

$\frac{7}{3} - (0 + 2 \cdot 0)$

Этап 3.6.2.2.10

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{7}{3} - (0 + 0)$

Этап 3.6.2.2.11

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{7}{3} - 0$

Этап 3.6.2.2.12

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{7}{3} + 0$

Этап 3.6.2.2.13

Добавим $\frac{7}{3}$ и $0$ .

$\frac{7}{3}$

Этап 4