Математический анализ Примеры

$81 x^{2} + 25 y^{2} + 810 x - 450 y + 2025 = 0$

Этап 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 1.2

Подставим значения $a = 25$ , $b = - 450$ и $c = 81 x^{2} + 810 x + 2025$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{450 \pm \sqrt{{(- 450)}^{2} - 4 \cdot (25 \cdot (81 x^{2} + 810 x + 2025))}}{2 \cdot 25}$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Перепишем $4 \cdot 25 \cdot (81 x^{2} + 810 x + 2025)$ в виде ${(2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45))}^{2}$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{{(- 450)}^{2} - {(2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45))}^{2}}}{2 \cdot 25}$

Этап 1.3.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = - 450$ и $b = 2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{(- 450 + 2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)) (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

Этап 1.3.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.3.1

Умножим $2$ на $5$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{(- 450 + 10 \cdot (9 x + 45)) (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

Этап 1.3.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{450 \pm \sqrt{(- 450 + 10 (9 x) + 10 \cdot 45) (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

Этап 1.3.1.3.3

Умножим $9$ на $10$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{(- 450 + 90 x + 10 \cdot 45) (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

Этап 1.3.1.3.4

Умножим $10$ на $45$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{(- 450 + 90 x + 450) (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

Этап 1.3.1.3.5

Добавим $- 450$ и $450$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{(90 x + 0) (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

Этап 1.3.1.3.6

Добавим $90 x$ и $0$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

Этап 1.3.1.3.7

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.3.7.1

Умножим $2$ на $5$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 450 - (10 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

Этап 1.3.1.3.7.2

Умножим $10$ на $- 1$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 450 - 10 (9 x + 45))}}{2 \cdot 25}$

Этап 1.3.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 450 - 10 (9 x) - 10 \cdot 45)}}{2 \cdot 25}$

Этап 1.3.1.4.2

Умножим $9$ на $- 10$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 450 - 90 x - 10 \cdot 45)}}{2 \cdot 25}$

Этап 1.3.1.4.3

Умножим $- 10$ на $45$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 450 - 90 x - 450)}}{2 \cdot 25}$

Этап 1.3.1.5

Вычтем $450$ из $- 450$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 90 x - 900)}}{2 \cdot 25}$

Этап 1.3.1.6

Вынесем множитель $90$ из $- 90 x - 900$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.6.1

Вынесем множитель $90$ из $- 90 x$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (90 (- x) - 900)}}{2 \cdot 25}$

Этап 1.3.1.6.2

Вынесем множитель $90$ из $- 900$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (90 (- x) + 90 (- 10))}}{2 \cdot 25}$

Этап 1.3.1.6.3

Вынесем множитель $90$ из $90 (- x) + 90 (- 10)$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (90 (- x - 10))}}{2 \cdot 25}$

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x \cdot (90 (- x - 10))}}{2 \cdot 25}$

Этап 1.3.1.7

Умножим $90$ на $90$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{8100 x (- x - 10)}}{2 \cdot 25}$

Этап 1.3.1.8

Перепишем $8100 x (- x - 10)$ в виде $90^{2} (x (- x - 10))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.8.1

Перепишем $8100$ в виде $90^{2}$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90^{2} x (- x - 10)}}{2 \cdot 25}$

Этап 1.3.1.8.2

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90^{2} (x (- x - 10))}}{2 \cdot 25}$

Этап 1.3.1.9

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{450 \pm 90 \sqrt{x (- x - 10)}}{2 \cdot 25}$

Этап 1.3.2

Умножим $2$ на $25$ .

$y = \frac{450 \pm 90 \sqrt{x (- x - 10)}}{50}$

Этап 1.3.3

Упростим $\frac{450 \pm 90 \sqrt{x (- x - 10)}}{50}$ .

$y = \frac{45 \pm 9 \sqrt{x (- x - 10)}}{5}$

Этап 1.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Перепишем $4 \cdot 25 \cdot (81 x^{2} + 810 x + 2025)$ в виде ${(2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45))}^{2}$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{{(- 450)}^{2} - {(2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45))}^{2}}}{2 \cdot 25}$

Этап 1.4.1.2

$y = \frac{450 \pm \sqrt{(- 450 + 2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)) (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

Этап 1.4.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.3.1

Умножим $2$ на $5$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{(- 450 + 10 \cdot (9 x + 45)) (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

Этап 1.4.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{450 \pm \sqrt{(- 450 + 10 (9 x) + 10 \cdot 45) (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

Этап 1.4.1.3.3

Умножим $9$ на $10$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{(- 450 + 90 x + 10 \cdot 45) (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

Этап 1.4.1.3.4

Умножим $10$ на $45$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{(- 450 + 90 x + 450) (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

Этап 1.4.1.3.5

Добавим $- 450$ и $450$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{(90 x + 0) (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

Этап 1.4.1.3.6

Добавим $90 x$ и $0$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

Этап 1.4.1.3.7

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.3.7.1

Умножим $2$ на $5$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 450 - (10 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

Этап 1.4.1.3.7.2

Умножим $10$ на $- 1$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 450 - 10 (9 x + 45))}}{2 \cdot 25}$

Этап 1.4.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 450 - 10 (9 x) - 10 \cdot 45)}}{2 \cdot 25}$

Этап 1.4.1.4.2

Умножим $9$ на $- 10$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 450 - 90 x - 10 \cdot 45)}}{2 \cdot 25}$

Этап 1.4.1.4.3

Умножим $- 10$ на $45$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 450 - 90 x - 450)}}{2 \cdot 25}$

Этап 1.4.1.5

Вычтем $450$ из $- 450$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 90 x - 900)}}{2 \cdot 25}$

Этап 1.4.1.6

Вынесем множитель $90$ из $- 90 x - 900$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.6.1

Вынесем множитель $90$ из $- 90 x$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (90 (- x) - 900)}}{2 \cdot 25}$

Этап 1.4.1.6.2

Вынесем множитель $90$ из $- 900$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (90 (- x) + 90 (- 10))}}{2 \cdot 25}$

Этап 1.4.1.6.3

Вынесем множитель $90$ из $90 (- x) + 90 (- 10)$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (90 (- x - 10))}}{2 \cdot 25}$

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x \cdot (90 (- x - 10))}}{2 \cdot 25}$

Этап 1.4.1.7

Умножим $90$ на $90$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{8100 x (- x - 10)}}{2 \cdot 25}$

Этап 1.4.1.8

Перепишем $8100 x (- x - 10)$ в виде $90^{2} (x (- x - 10))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.8.1

Перепишем $8100$ в виде $90^{2}$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90^{2} x (- x - 10)}}{2 \cdot 25}$

Этап 1.4.1.8.2

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90^{2} (x (- x - 10))}}{2 \cdot 25}$

Этап 1.4.1.9

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{450 \pm 90 \sqrt{x (- x - 10)}}{2 \cdot 25}$

Этап 1.4.2

Умножим $2$ на $25$ .

$y = \frac{450 \pm 90 \sqrt{x (- x - 10)}}{50}$

Этап 1.4.3

Упростим $\frac{450 \pm 90 \sqrt{x (- x - 10)}}{50}$ .

$y = \frac{45 \pm 9 \sqrt{x (- x - 10)}}{5}$

Этап 1.4.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$y = \frac{45 + 9 \sqrt{x (- x - 10)}}{5}$

Этап 1.4.5

Вынесем множитель $9$ из $45 + 9 \sqrt{x (- x - 10)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.5.1

Вынесем множитель $9$ из $45$ .

$y = \frac{9 \cdot 5 + 9 \sqrt{x (- x - 10)}}{5}$

Этап 1.4.5.2

Вынесем множитель $9$ из $9 \cdot 5 + 9 \sqrt{x (- x - 10)}$ .

$y = \frac{9 (5 + \sqrt{x (- x - 10)})}{5}$

Этап 1.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Перепишем $4 \cdot 25 \cdot (81 x^{2} + 810 x + 2025)$ в виде ${(2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45))}^{2}$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{{(- 450)}^{2} - {(2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45))}^{2}}}{2 \cdot 25}$

Этап 1.5.1.2

$y = \frac{450 \pm \sqrt{(- 450 + 2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)) (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

Этап 1.5.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.3.1

Умножим $2$ на $5$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{(- 450 + 10 \cdot (9 x + 45)) (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

Этап 1.5.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{450 \pm \sqrt{(- 450 + 10 (9 x) + 10 \cdot 45) (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

Этап 1.5.1.3.3

Умножим $9$ на $10$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{(- 450 + 90 x + 10 \cdot 45) (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

Этап 1.5.1.3.4

Умножим $10$ на $45$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{(- 450 + 90 x + 450) (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

Этап 1.5.1.3.5

Добавим $- 450$ и $450$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{(90 x + 0) (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

Этап 1.5.1.3.6

Добавим $90 x$ и $0$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

Этап 1.5.1.3.7

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.3.7.1

Умножим $2$ на $5$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 450 - (10 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

Этап 1.5.1.3.7.2

Умножим $10$ на $- 1$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 450 - 10 (9 x + 45))}}{2 \cdot 25}$

Этап 1.5.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 450 - 10 (9 x) - 10 \cdot 45)}}{2 \cdot 25}$

Этап 1.5.1.4.2

Умножим $9$ на $- 10$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 450 - 90 x - 10 \cdot 45)}}{2 \cdot 25}$

Этап 1.5.1.4.3

Умножим $- 10$ на $45$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 450 - 90 x - 450)}}{2 \cdot 25}$

Этап 1.5.1.5

Вычтем $450$ из $- 450$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 90 x - 900)}}{2 \cdot 25}$

Этап 1.5.1.6

Вынесем множитель $90$ из $- 90 x - 900$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.6.1

Вынесем множитель $90$ из $- 90 x$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (90 (- x) - 900)}}{2 \cdot 25}$

Этап 1.5.1.6.2

Вынесем множитель $90$ из $- 900$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (90 (- x) + 90 (- 10))}}{2 \cdot 25}$

Этап 1.5.1.6.3

Вынесем множитель $90$ из $90 (- x) + 90 (- 10)$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (90 (- x - 10))}}{2 \cdot 25}$

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x \cdot (90 (- x - 10))}}{2 \cdot 25}$

Этап 1.5.1.7

Умножим $90$ на $90$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{8100 x (- x - 10)}}{2 \cdot 25}$

Этап 1.5.1.8

Перепишем $8100 x (- x - 10)$ в виде $90^{2} (x (- x - 10))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.8.1

Перепишем $8100$ в виде $90^{2}$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90^{2} x (- x - 10)}}{2 \cdot 25}$

Этап 1.5.1.8.2

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90^{2} (x (- x - 10))}}{2 \cdot 25}$

Этап 1.5.1.9

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{450 \pm 90 \sqrt{x (- x - 10)}}{2 \cdot 25}$

Этап 1.5.2

Умножим $2$ на $25$ .

$y = \frac{450 \pm 90 \sqrt{x (- x - 10)}}{50}$

Этап 1.5.3

Упростим $\frac{450 \pm 90 \sqrt{x (- x - 10)}}{50}$ .

$y = \frac{45 \pm 9 \sqrt{x (- x - 10)}}{5}$

Этап 1.5.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$y = \frac{45 - 9 \sqrt{x (- x - 10)}}{5}$

Этап 1.5.5

Вынесем множитель $9$ из $45 - 9 \sqrt{x (- x - 10)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.1

Вынесем множитель $9$ из $45$ .

$y = \frac{9 (5) - 9 \sqrt{x (- x - 10)}}{5}$

Этап 1.5.5.2

Вынесем множитель $9$ из $- 9 \sqrt{x (- x - 10)}$ .

$y = \frac{9 (5) + 9 (- \sqrt{x (- x - 10)})}{5}$

Этап 1.5.5.3

Вынесем множитель $9$ из $9 (5) + 9 (- \sqrt{x (- x - 10)})$ .

$y = \frac{9 (5 - \sqrt{x (- x - 10)})}{5}$

Этап 1.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = \frac{9 (5 + \sqrt{x (- x - 10)})}{5}$

$y = \frac{9 (5 - \sqrt{x (- x - 10)})}{5}$

$y = \frac{9 (5 + \sqrt{x (- x - 10)})}{5}$

$y = \frac{9 (5 - \sqrt{x (- x - 10)})}{5}$

Этап 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \frac{9 (5 + \sqrt{x (- x - 10)})}{5} \to f (x) = \frac{9 (5 + \sqrt{x (- x - 10)})}{5}$

$y = \frac{9 (5 - \sqrt{x (- x - 10)})}{5} \to f (x) = \frac{9 (5 - \sqrt{x (- x - 10)})}{5}$

Этап 3

Because the $y$ variable in the equation $81 x^{2} + 25 y^{2} + 810 x - 450 y + 2025 = 0$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (81 x^{2} + 25 y^{2} + 810 x - 450 y + 2025) = \frac{d}{d x} (0)$

Этап 3.2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

По правилу суммы производная $81 x^{2} + 25 y^{2} + 810 x - 450 y + 2025$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [81 x^{2}] + \frac{d}{d x} [25 y^{2}] + \frac{d}{d x} [810 x] + \frac{d}{d x} [- 450 y] + \frac{d}{d x} [2025]$ .

$\frac{d}{d x} [81 x^{2}] + \frac{d}{d x} [25 y^{2}] + \frac{d}{d x} [810 x] + \frac{d}{d x} [- 450 y] + \frac{d}{d x} [2025]$

Этап 3.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [81 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Поскольку $81$ является константой относительно $x$ , производная $81 x^{2}$ по $x$ равна $81 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$81 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25 y^{2}] + \frac{d}{d x} [810 x] + \frac{d}{d x} [- 450 y] + \frac{d}{d x} [2025]$

Этап 3.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$81 (2 x) + \frac{d}{d x} [25 y^{2}] + \frac{d}{d x} [810 x] + \frac{d}{d x} [- 450 y] + \frac{d}{d x} [2025]$

Этап 3.2.2.3

Умножим $2$ на $81$ .

$162 x + \frac{d}{d x} [25 y^{2}] + \frac{d}{d x} [810 x] + \frac{d}{d x} [- 450 y] + \frac{d}{d x} [2025]$

Этап 3.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [25 y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Поскольку $25$ является константой относительно $x$ , производная $25 y^{2}$ по $x$ равна $25 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$162 x + 25 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [810 x] + \frac{d}{d x} [- 450 y] + \frac{d}{d x} [2025]$

Этап 3.2.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$162 x + 25 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [810 x] + \frac{d}{d x} [- 450 y] + \frac{d}{d x} [2025]$

Этап 3.2.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$162 x + 25 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [810 x] + \frac{d}{d x} [- 450 y] + \frac{d}{d x} [2025]$

Этап 3.2.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$162 x + 25 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [810 x] + \frac{d}{d x} [- 450 y] + \frac{d}{d x} [2025]$

Этап 3.2.3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$162 x + 25 (2 y y') + \frac{d}{d x} [810 x] + \frac{d}{d x} [- 450 y] + \frac{d}{d x} [2025]$

Этап 3.2.3.4

Умножим $2$ на $25$ .

$162 x + 50 y y' + \frac{d}{d x} [810 x] + \frac{d}{d x} [- 450 y] + \frac{d}{d x} [2025]$

Этап 3.2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [810 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Поскольку $810$ является константой относительно $x$ , производная $810 x$ по $x$ равна $810 \frac{d}{d x} [x]$ .

$162 x + 50 y y' + 810 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 450 y] + \frac{d}{d x} [2025]$

Этап 3.2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$162 x + 50 y y' + 810 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 450 y] + \frac{d}{d x} [2025]$

Этап 3.2.4.3

Умножим $810$ на $1$ .

$162 x + 50 y y' + 810 + \frac{d}{d x} [- 450 y] + \frac{d}{d x} [2025]$

Этап 3.2.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 450 y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Поскольку $- 450$ является константой относительно $x$ , производная $- 450 y$ по $x$ равна $- 450 \frac{d}{d x} [y]$ .

$162 x + 50 y y' + 810 - 450 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2025]$

Этап 3.2.5.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$162 x + 50 y y' + 810 - 450 y' + \frac{d}{d x} [2025]$

Этап 3.2.6

Поскольку $2025$ является константой относительно $x$ , производная $2025$ относительно $x$ равна $0$ .

$162 x + 50 y y' + 810 - 450 y' + 0$

Этап 3.2.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.1

Добавим $162 x + 50 y y' + 810 - 450 y'$ и $0$ .

$162 x + 50 y y' + 810 - 450 y'$

Этап 3.2.7.2

Изменим порядок членов.

$50 y y' + 162 x + 810 - 450 y'$

Этап 3.3

Поскольку $0$ является константой относительно $x$ , производная $0$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 3.4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$50 y y' + 162 x + 810 - 450 y' = 0$

Этап 3.5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Вычтем $162 x$ из обеих частей уравнения.

$50 y y' + 810 - 450 y' = - 162 x$

Этап 3.5.1.2

Вычтем $810$ из обеих частей уравнения.

$50 y y' - 450 y' = - 162 x - 810$

Этап 3.5.2

Вынесем множитель $50 y'$ из $50 y y' - 450 y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Вынесем множитель $50 y'$ из $50 y y'$ .

$50 y' y - 450 y' = - 162 x - 810$

Этап 3.5.2.2

Вынесем множитель $50 y'$ из $- 450 y'$ .

$50 y' y + 50 y' \cdot - 9 = - 162 x - 810$

Этап 3.5.2.3

Вынесем множитель $50 y'$ из $50 y' y + 50 y' \cdot - 9$ .

$50 y' (y - 9) = - 162 x - 810$

Этап 3.5.3

Разделим каждый член $50 y' (y - 9) = - 162 x - 810$ на $50 (y - 9)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Разделим каждый член $50 y' (y - 9) = - 162 x - 810$ на $50 (y - 9)$ .

$\frac{50 y' (y - 9)}{50 (y - 9)} = \frac{- 162 x}{50 (y - 9)} + \frac{- 810}{50 (y - 9)}$

Этап 3.5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.2.1

Сократим общий множитель $50$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{50 y' (y - 9)}{50 (y - 9)} = \frac{- 162 x}{50 (y - 9)} + \frac{- 810}{50 (y - 9)}$

Этап 3.5.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (y - 9)}{y - 9} = \frac{- 162 x}{50 (y - 9)} + \frac{- 810}{50 (y - 9)}$

Этап 3.5.3.2.2

Сократим общий множитель $y - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (y - 9)}{y - 9} = \frac{- 162 x}{50 (y - 9)} + \frac{- 810}{50 (y - 9)}$

Этап 3.5.3.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 162 x}{50 (y - 9)} + \frac{- 810}{50 (y - 9)}$

Этап 3.5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.3.1.1

Сократим общий множитель $- 162$ и $50$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.3.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 162 x$ .

$y' = \frac{2 (- 81 x)}{50 (y - 9)} + \frac{- 810}{50 (y - 9)}$

Этап 3.5.3.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $50 (y - 9)$ .

$y' = \frac{2 (- 81 x)}{2 (25 (y - 9))} + \frac{- 810}{50 (y - 9)}$

Этап 3.5.3.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{2 (- 81 x)}{2 (25 (y - 9))} + \frac{- 810}{50 (y - 9)}$

Этап 3.5.3.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{- 81 x}{25 (y - 9)} + \frac{- 810}{50 (y - 9)}$

Этап 3.5.3.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{81 x}{25 (y - 9)} + \frac{- 810}{50 (y - 9)}$

Этап 3.5.3.3.1.3

Сократим общий множитель $- 810$ и $50$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.3.1.3.1

Вынесем множитель $10$ из $- 810$ .

$y' = - \frac{81 x}{25 (y - 9)} + \frac{10 (- 81)}{50 (y - 9)}$

Этап 3.5.3.3.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.3.1.3.2.1

Вынесем множитель $10$ из $50 (y - 9)$ .

$y' = - \frac{81 x}{25 (y - 9)} + \frac{10 (- 81)}{10 (5 (y - 9))}$

Этап 3.5.3.3.1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = - \frac{81 x}{25 (y - 9)} + \frac{10 \cdot - 81}{10 (5 (y - 9))}$

Этап 3.5.3.3.1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = - \frac{81 x}{25 (y - 9)} + \frac{- 81}{5 (y - 9)}$

Этап 3.5.3.3.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{81 x}{25 (y - 9)} - \frac{81}{5 (y - 9)}$

Этап 3.6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{81 x}{25 (y - 9)} - \frac{81}{5 (y - 9)}$

Этап 4

Приравняем производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{81 x}{25 (y - 9)} - \frac{81}{5 (y - 9)} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Добавим $\frac{81}{5 (y - 9)}$ к обеим частям уравнения.

$- \frac{81 x}{25 (y - 9)} = \frac{81}{5 (y - 9)}$

Этап 4.2

Разделим каждый член $- \frac{81 x}{25 (y - 9)} = \frac{81}{5 (y - 9)}$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Разделим каждый член $- \frac{81 x}{25 (y - 9)} = \frac{81}{5 (y - 9)}$ на $- 1$ .

$\frac{- \frac{81 x}{25 (y - 9)}}{- 1} = \frac{\frac{81}{5 (y - 9)}}{- 1}$

Этап 4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\frac{81 x}{25 (y - 9)}}{1} = \frac{\frac{81}{5 (y - 9)}}{- 1}$

Этап 4.2.2.2

Разделим $\frac{81 x}{25 (y - 9)}$ на $1$ .

$\frac{81 x}{25 (y - 9)} = \frac{\frac{81}{5 (y - 9)}}{- 1}$

Этап 4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\frac{81}{5 (y - 9)}}{- 1}$ .

$\frac{81 x}{25 (y - 9)} = - 1 \cdot \frac{81}{5 (y - 9)}$

Этап 4.2.3.2

Перепишем $- 1 \cdot \frac{81}{5 (y - 9)}$ в виде $- \frac{81}{5 (y - 9)}$ .

$\frac{81 x}{25 (y - 9)} = - \frac{81}{5 (y - 9)}$

Этап 4.3

Умножим обе части на $25 (y - 9)$ .

$\frac{81 x}{25 (y - 9)} (25 (y - 9)) = - \frac{81}{5 (y - 9)} (25 (y - 9))$

Этап 4.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.1

Упростим $\frac{81 x}{25 (y - 9)} (25 (y - 9))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$25 \frac{81 x}{25 (y - 9)} (y - 9) = - \frac{81}{5 (y - 9)} (25 (y - 9))$

Этап 4.4.1.1.2

Сократим общий множитель $25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$25 \frac{81 x}{25 (y - 9)} (y - 9) = - \frac{81}{5 (y - 9)} (25 (y - 9))$

Этап 4.4.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{81 x}{y - 9} (y - 9) = - \frac{81}{5 (y - 9)} (25 (y - 9))$

Этап 4.4.1.1.3

Сократим общий множитель $y - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{81 x}{y - 9} (y - 9) = - \frac{81}{5 (y - 9)} (25 (y - 9))$

Этап 4.4.1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$81 x = - \frac{81}{5 (y - 9)} (25 (y - 9))$

Этап 4.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Упростим $- \frac{81}{5 (y - 9)} (25 (y - 9))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.1

Сократим общий множитель $5 (y - 9)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{81}{5 (y - 9)}$ в числитель.

$81 x = \frac{- 81}{5 (y - 9)} (25 (y - 9))$

Этап 4.4.2.1.1.2

Вынесем множитель $5 (y - 9)$ из $25 (y - 9)$ .

$81 x = \frac{- 81}{5 (y - 9)} (5 (y - 9) (5))$

Этап 4.4.2.1.1.3

Сократим общий множитель.

$81 x = \frac{- 81}{5 (y - 9)} (5 (y - 9) \cdot 5)$

Этап 4.4.2.1.1.4

Перепишем это выражение.

$81 x = - 81 \cdot 5$

Этап 4.4.2.1.2

Умножим $- 81$ на $5$ .

$81 x = - 405$

Этап 4.5

Разделим каждый член $81 x = - 405$ на $81$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Разделим каждый член $81 x = - 405$ на $81$ .

$\frac{81 x}{81} = \frac{- 405}{81}$

Этап 4.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Сократим общий множитель $81$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{81 x}{81} = \frac{- 405}{81}$

Этап 4.5.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 405}{81}$

Этап 4.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.3.1

Разделим $- 405$ на $81$ .

$x = - 5$

Этап 5

Solve the function $f (x) = \frac{9 (5 + \sqrt{x (- x - 10)})}{5}$ at $x = - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 5$ .

$f (- 5) = \frac{9 (5 + \sqrt{(- 5) (- (- 5) - 10)})}{5}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

$f (- 5) = \frac{9 (5 + \sqrt{- 5 (5 - 10)})}{5}$

Этап 5.2.1.2

Вычтем $10$ из $5$ .

$f (- 5) = \frac{9 (5 + \sqrt{- 5 \cdot - 5})}{5}$

Этап 5.2.1.3

Умножим $- 5$ на $- 5$ .

$f (- 5) = \frac{9 (5 + \sqrt{25})}{5}$

Этап 5.2.1.4

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$f (- 5) = \frac{9 (5 + \sqrt{5^{2}})}{5}$

Этап 5.2.1.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (- 5) = \frac{9 (5 + 5)}{5}$

Этап 5.2.1.6

Добавим $5$ и $5$ .

$f (- 5) = \frac{9 \cdot 10}{5}$

Этап 5.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Умножим $9$ на $10$ .

$f (- 5) = \frac{90}{5}$

Этап 5.2.2.2

Разделим $90$ на $5$ .

$f (- 5) = 18$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $18$ .

$18$

Этап 6

Solve the function $f (x) = \frac{9 (5 - \sqrt{x (- x - 10)})}{5}$ at $x = - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 5$ .

$f (- 5) = \frac{9 (5 - \sqrt{(- 5) (- (- 5) - 10)})}{5}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

$f (- 5) = \frac{9 (5 - \sqrt{- 5 (5 - 10)})}{5}$

Этап 6.2.1.2

Вычтем $10$ из $5$ .

$f (- 5) = \frac{9 (5 - \sqrt{- 5 \cdot - 5})}{5}$

Этап 6.2.1.3

Умножим $- 5$ на $- 5$ .

$f (- 5) = \frac{9 (5 - \sqrt{25})}{5}$

Этап 6.2.1.4

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$f (- 5) = \frac{9 (5 - \sqrt{5^{2}})}{5}$

Этап 6.2.1.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (- 5) = \frac{9 (5 - 1 \cdot 5)}{5}$

Этап 6.2.1.6

Умножим $- 1$ на $5$ .

$f (- 5) = \frac{9 (5 - 5)}{5}$

Этап 6.2.1.7

Вычтем $5$ из $5$ .

$f (- 5) = \frac{9 \cdot 0}{5}$

Этап 6.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Умножим $9$ на $0$ .

$f (- 5) = \frac{0}{5}$

Этап 6.2.2.2

Разделим $0$ на $5$ .

$f (- 5) = 0$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 7

The horizontal tangent lines are $y = 18, y = 0$

$y = 18, y = 0$

Этап 8