Математический анализ Примеры

$x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y = 4$

Этап 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y - 4 = 0$

Этап 1.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 1.3

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 4$ и $c = x^{2} - 2 x - 4$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} - 2 x - 4))}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Вынесем множитель $- 4$ из ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} - 2 x - 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1.1

Вынесем множитель $- 4$ из ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} - 2 x - 4)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.4.1.1.2

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} - 2 x - 4)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (x^{2} - 2 x - 4))}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.4.1.1.3

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (x^{2} - 2 x - 4))$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (x^{2} - 2 x - 4))}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.4.1.2

Умножим $x^{2} - 2 x - 4$ на $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + x^{2} - 2 x - 4)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.4.1.3

Вычтем $4$ из $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (x^{2} - 2 x - 8)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.4.1.4

Разложим $x^{2} - 2 x - 8$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 8$ , а сумма — $- 2$ .

$- 4, 2$

Этап 1.4.1.4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 ((x - 4) (x + 2))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (x - 4) (x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.4.1.5

Перепишем $- 4 (x - 4) (x + 2)$ в виде $2^{2} \cdot (- 1 (x - 4) (x + 2))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.5.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (x - 4) (x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.4.1.5.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (x - 4) (x + 2))}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.4.1.5.3

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 ((x - 4) (x + 2)))}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.4.1.5.4

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (x - 4) (x + 2))}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.4.1.6

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (x - 4) (x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (x - 4) (x + 2)}}{2}$

Этап 1.4.3

Упростим $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (x - 4) (x + 2)}}{2}$ .

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (x - 4) (x + 2)}$

Этап 1.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Вынесем множитель $- 4$ из ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} - 2 x - 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1.1

Вынесем множитель $- 4$ из ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} - 2 x - 4)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.1.1.2

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} - 2 x - 4)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (x^{2} - 2 x - 4))}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.1.1.3

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (x^{2} - 2 x - 4))$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (x^{2} - 2 x - 4))}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.1.2

Умножим $x^{2} - 2 x - 4$ на $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + x^{2} - 2 x - 4)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.1.3

Вычтем $4$ из $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (x^{2} - 2 x - 8)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.1.4

Разложим $x^{2} - 2 x - 8$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.4.1

$- 4, 2$

Этап 1.5.1.4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 ((x - 4) (x + 2))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (x - 4) (x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.1.5

Перепишем $- 4 (x - 4) (x + 2)$ в виде $2^{2} \cdot (- 1 (x - 4) (x + 2))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.5.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (x - 4) (x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.1.5.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (x - 4) (x + 2))}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.1.5.3

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 ((x - 4) (x + 2)))}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.1.5.4

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (x - 4) (x + 2))}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.1.6

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (x - 4) (x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (x - 4) (x + 2)}}{2}$

Этап 1.5.3

Упростим $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (x - 4) (x + 2)}}{2}$ .

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (x - 4) (x + 2)}$

Этап 1.5.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$y = 2 + \sqrt{- 1 (x - 4) (x + 2)}$

Этап 1.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.1

Вынесем множитель $- 4$ из ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} - 2 x - 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.1.1

Вынесем множитель $- 4$ из ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} - 2 x - 4)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.6.1.1.2

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} - 2 x - 4)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (x^{2} - 2 x - 4))}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.6.1.1.3

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (x^{2} - 2 x - 4))$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (x^{2} - 2 x - 4))}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.6.1.2

Умножим $x^{2} - 2 x - 4$ на $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + x^{2} - 2 x - 4)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.6.1.3

Вычтем $4$ из $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (x^{2} - 2 x - 8)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.6.1.4

Разложим $x^{2} - 2 x - 8$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.4.1

$- 4, 2$

Этап 1.6.1.4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 ((x - 4) (x + 2))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (x - 4) (x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.6.1.5

Перепишем $- 4 (x - 4) (x + 2)$ в виде $2^{2} \cdot (- 1 (x - 4) (x + 2))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.5.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (x - 4) (x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.6.1.5.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (x - 4) (x + 2))}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.6.1.5.3

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 ((x - 4) (x + 2)))}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.6.1.5.4

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (x - 4) (x + 2))}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.6.1.6

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (x - 4) (x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.6.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (x - 4) (x + 2)}}{2}$

Этап 1.6.3

Упростим $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (x - 4) (x + 2)}}{2}$ .

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (x - 4) (x + 2)}$

Этап 1.6.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$y = 2 - \sqrt{- 1 (x - 4) (x + 2)}$

Этап 1.7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = 2 + \sqrt{- 1 (x - 4) (x + 2)}$

$y = 2 - \sqrt{- 1 (x - 4) (x + 2)}$

$y = 2 + \sqrt{- 1 (x - 4) (x + 2)}$

$y = 2 - \sqrt{- 1 (x - 4) (x + 2)}$

Этап 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = 2 + \sqrt{- 1 (x - 4) (x + 2)} \to f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (x - 4) (x + 2)}$

$y = 2 - \sqrt{- 1 (x - 4) (x + 2)} \to f (x) = 2 - \sqrt{- 1 (x - 4) (x + 2)}$

Этап 3

Because the $y$ variable in the equation $x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y = 4$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y) = \frac{d}{d x} (4)$

Этап 3.2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

По правилу суммы производная $x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 4 y]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 4 y]$

Этап 3.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 4 y]$

Этап 3.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$2 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 4 y]$

Этап 3.2.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + 2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 4 y]$

Этап 3.2.2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 4 y]$

Этап 3.2.2.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 x + 2 y y' + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 4 y]$

Этап 3.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 2 y y' - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 y]$

Этап 3.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 x + 2 y y' - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4 y]$

Этап 3.2.3.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$2 x + 2 y y' - 2 + \frac{d}{d x} [- 4 y]$

Этап 3.2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 y$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 x + 2 y y' - 2 - 4 \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.2.4.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 x + 2 y y' - 2 - 4 y'$

Этап 3.2.5

Изменим порядок членов.

$2 y y' + 2 x - 2 - 4 y'$

Этап 3.3

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 3.4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$2 y y' + 2 x - 2 - 4 y' = 0$

Этап 3.5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Вычтем $2 x$ из обеих частей уравнения.

$2 y y' - 2 - 4 y' = - 2 x$

Этап 3.5.1.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$2 y y' - 4 y' = - 2 x + 2$

Этап 3.5.2

Вынесем множитель $2 y'$ из $2 y y' - 4 y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Вынесем множитель $2 y'$ из $2 y y'$ .

$2 y' y - 4 y' = - 2 x + 2$

Этап 3.5.2.2

Вынесем множитель $2 y'$ из $- 4 y'$ .

$2 y' y + 2 y' \cdot - 2 = - 2 x + 2$

Этап 3.5.2.3

Вынесем множитель $2 y'$ из $2 y' y + 2 y' \cdot - 2$ .

$2 y' (y - 2) = - 2 x + 2$

Этап 3.5.3

Разделим каждый член $2 y' (y - 2) = - 2 x + 2$ на $2 (y - 2)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Разделим каждый член $2 y' (y - 2) = - 2 x + 2$ на $2 (y - 2)$ .

$\frac{2 y' (y - 2)}{2 (y - 2)} = \frac{- 2 x}{2 (y - 2)} + \frac{2}{2 (y - 2)}$

Этап 3.5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y' (y - 2)}{2 (y - 2)} = \frac{- 2 x}{2 (y - 2)} + \frac{2}{2 (y - 2)}$

Этап 3.5.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (y - 2)}{y - 2} = \frac{- 2 x}{2 (y - 2)} + \frac{2}{2 (y - 2)}$

Этап 3.5.3.2.2

Сократим общий множитель $y - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (y - 2)}{y - 2} = \frac{- 2 x}{2 (y - 2)} + \frac{2}{2 (y - 2)}$

Этап 3.5.3.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{2 (y - 2)} + \frac{2}{2 (y - 2)}$

Этап 3.5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.3.1.1

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.3.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x$ .

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (y - 2)} + \frac{2}{2 (y - 2)}$

Этап 3.5.3.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.3.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (y - 2)} + \frac{2}{2 (y - 2)}$

Этап 3.5.3.3.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{- x}{y - 2} + \frac{2}{2 (y - 2)}$

Этап 3.5.3.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{x}{y - 2} + \frac{2}{2 (y - 2)}$

Этап 3.5.3.3.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.3.1.3.1

Сократим общий множитель.

$y' = - \frac{x}{y - 2} + \frac{2}{2 (y - 2)}$

Этап 3.5.3.3.1.3.2

Перепишем это выражение.

$y' = - \frac{x}{y - 2} + \frac{1}{y - 2}$

Этап 3.5.3.3.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.3.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{- x + 1}{y - 2}$

Этап 3.5.3.3.2.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$y' = \frac{- (x) + 1}{y - 2}$

Этап 3.5.3.3.2.3

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{- (x) - 1 (- 1)}{y - 2}$

Этап 3.5.3.3.2.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{- (x - 1)}{y - 2}$

Этап 3.5.3.3.2.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.3.2.5.1

Перепишем $- (x - 1)$ в виде $- 1 (x - 1)$ .

$y' = \frac{- 1 (x - 1)}{y - 2}$

Этап 3.5.3.3.2.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{x - 1}{y - 2}$

Этап 3.6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x - 1}{y - 2}$

Этап 4

Приравняем производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{x - 1}{y - 2} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем числитель к нулю.

$x - 1 = 0$

Этап 4.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 5

Solve the function $f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (x - 4) (x + 2)}$ at $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = 2 + \sqrt{- 1 ((1) - 4) ((1) + 2)}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Вычтем $4$ из $1$ .

$f (1) = 2 + \sqrt{- 1 \cdot (- 3 (1 + 2))}$

Этап 5.2.1.2

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$f (1) = 2 + \sqrt{3 (1 + 2)}$

Этап 5.2.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f (1) = 2 + \sqrt{3 \cdot 3}$

Этап 5.2.1.4

Умножим $3$ на $3$ .

$f (1) = 2 + \sqrt{9}$

Этап 5.2.1.5

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$f (1) = 2 + \sqrt{3^{2}}$

Этап 5.2.1.6

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (1) = 2 + 3$

Этап 5.2.2

Добавим $2$ и $3$ .

$f (1) = 5$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $5$ .

$5$

Этап 6

Solve the function $f (x) = 2 - \sqrt{- 1 (x - 4) (x + 2)}$ at $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = 2 - \sqrt{- 1 ((1) - 4) ((1) + 2)}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Вычтем $4$ из $1$ .

$f (1) = 2 - \sqrt{- 1 \cdot (- 3 (1 + 2))}$

Этап 6.2.1.2

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$f (1) = 2 - \sqrt{3 (1 + 2)}$

Этап 6.2.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f (1) = 2 - \sqrt{3 \cdot 3}$

Этап 6.2.1.4

Умножим $3$ на $3$ .

$f (1) = 2 - \sqrt{9}$

Этап 6.2.1.5

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$f (1) = 2 - \sqrt{3^{2}}$

Этап 6.2.1.6

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (1) = 2 - 1 \cdot 3$

Этап 6.2.1.7

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f (1) = 2 - 3$

Этап 6.2.2

Вычтем $3$ из $2$ .

$f (1) = - 1$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $- 1$ .

$- 1$

Этап 7

The horizontal tangent lines are $y = 5, y = - 1$

$y = 5, y = - 1$

Этап 8