Математический анализ Примеры

$y = - 8 x + e^{x}$

Этап 1

Примем $y$ как функцию $x$ .

$f (x) = - 8 x + e^{x}$

Этап 2

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- 8 x + e^{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8 x$ по $x$ равна $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 2.2.3

Умножим $- 8$ на $1$ .

$- 8 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$- 8 + e^{x}$

Этап 3

Приравняем производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 8 + e^{x} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$e^{x} = 8$

Этап 3.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (8)$

Этап 3.3

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Развернем $\ln (e^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (e) = \ln (8)$

Этап 3.3.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (8)$

Этап 3.3.3

Умножим $x$ на $1$ .

$x = \ln (8)$

Этап 4

Решим исходную функцию $f (x) = - 8 x + e^{x}$ в точке $x = \ln (8)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\ln (8)$ .

$f (\ln (8)) = - 8 \ln (8) + e^{\ln (8)}$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Упростим $- 8 \ln (8)$ путем переноса $8$ под логарифм.

$f (\ln (8)) = - \ln (8^{8}) + e^{\ln (8)}$

Этап 4.2.1.2

Возведем $8$ в степень $8$ .

$f (\ln (8)) = - \ln (16777216) + e^{\ln (8)}$

Этап 4.2.1.3

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$f (\ln (8)) = - \ln (16777216) + 8$

Этап 4.2.2

Окончательный ответ: $- \ln (16777216) + 8$ .

$- \ln (16777216) + 8$

Этап 5

Горизонтальная касательной к графику функции $f (x) = - 8 x + e^{x}$ : $y = - \ln (16777216) + 8$ .

$y = - \ln (16777216) + 8$

Этап 6