Математический анализ Примеры

$y = x^{3} + 4 x^{2} - 11 x + 11$

Этап 1

Примем $y$ как функцию $x$ .

$f (x) = x^{3} + 4 x^{2} - 11 x + 11$

Этап 2

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $x^{3} + 4 x^{2} - 11 x + 11$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 11 x] + \frac{d}{d x} [11]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 11 x] + \frac{d}{d x} [11]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 11 x] + \frac{d}{d x} [11]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{2}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 11 x] + \frac{d}{d x} [11]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 x^{2} + 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 11 x] + \frac{d}{d x} [11]$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $4$ .

$3 x^{2} + 8 x + \frac{d}{d x} [- 11 x] + \frac{d}{d x} [11]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 11 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 11$ является константой относительно $x$ , производная $- 11 x$ по $x$ равна $- 11 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 8 x - 11 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [11]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 x^{2} + 8 x - 11 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [11]$

Этап 2.3.3

Умножим $- 11$ на $1$ .

$3 x^{2} + 8 x - 11 + \frac{d}{d x} [11]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $11$ является константой относительно $x$ , производная $11$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 x^{2} + 8 x - 11 + 0$

Этап 2.4.2

Добавим $3 x^{2} + 8 x - 11$ и $0$ .

$3 x^{2} + 8 x - 11$

Этап 3

Приравняем производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $3 x^{2} + 8 x - 11 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot - 11 = - 33$ , а сумма — $b = 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Вынесем множитель $8$ из $8 x$ .

$3 x^{2} + 8 (x) - 11 = 0$

Этап 3.1.1.2

Запишем $8$ как $- 3$ плюс $11$

$3 x^{2} + (- 3 + 11) x - 11 = 0$

Этап 3.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} - 3 x + 11 x - 11 = 0$

Этап 3.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(3 x^{2} - 3 x) + 11 x - 11 = 0$

Этап 3.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$3 x (x - 1) + 11 (x - 1) = 0$

Этап 3.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x - 1$ .

$(x - 1) (3 x + 11) = 0$

Этап 3.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 1 = 0$

$3 x + 11 = 0$

Этап 3.3

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 3.3.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 3.4

Приравняем $3 x + 11$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Приравняем $3 x + 11$ к $0$ .

$3 x + 11 = 0$

Этап 3.4.2

Решим $3 x + 11 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Вычтем $11$ из обеих частей уравнения.

$3 x = - 11$

Этап 3.4.2.2

Разделим каждый член $3 x = - 11$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = - 11$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 11}{3}$

Этап 3.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 11}{3}$

Этап 3.4.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 11}{3}$

Этап 3.4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{11}{3}$

Этап 3.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 1) (3 x + 11) = 0$ верно.

$x = 1, - \frac{11}{3}$

Этап 4

Решим исходную функцию $f (x) = x^{3} + 4 x^{2} - 11 x + 11$ в точке $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = {(1)}^{3} + 4 {(1)}^{2} - 11 \cdot 1 + 11$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = 1 + 4 {(1)}^{2} - 11 \cdot 1 + 11$

Этап 4.2.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = 1 + 4 \cdot 1 - 11 \cdot 1 + 11$

Этап 4.2.1.3

Умножим $4$ на $1$ .

$f (1) = 1 + 4 - 11 \cdot 1 + 11$

Этап 4.2.1.4

Умножим $- 11$ на $1$ .

$f (1) = 1 + 4 - 11 + 11$

Этап 4.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Добавим $1$ и $4$ .

$f (1) = 5 - 11 + 11$

Этап 4.2.2.2

Вычтем $11$ из $5$ .

$f (1) = - 6 + 11$

Этап 4.2.2.3

Добавим $- 6$ и $11$ .

$f (1) = 5$

Этап 4.2.3

Окончательный ответ: $5$ .

$5$

Этап 5

Решим исходную функцию $f (x) = x^{3} + 4 x^{2} - 11 x + 11$ в точке $x = - \frac{11}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{11}{3}$ .

$f (- \frac{11}{3}) = {(- \frac{11}{3})}^{3} + 4 {(- \frac{11}{3})}^{2} - 11 (- \frac{11}{3}) + 11$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{11}{3}$ .

$f (- \frac{11}{3}) = {(- 1)}^{3} {(\frac{11}{3})}^{3} + 4 {(- \frac{11}{3})}^{2} - 11 (- \frac{11}{3}) + 11$

Этап 5.2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{11}{3}$ .

$f (- \frac{11}{3}) = {(- 1)}^{3} (\frac{11^{3}}{3^{3}}) + 4 {(- \frac{11}{3})}^{2} - 11 (- \frac{11}{3}) + 11$

Этап 5.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- \frac{11}{3}) = - \frac{11^{3}}{3^{3}} + 4 {(- \frac{11}{3})}^{2} - 11 (- \frac{11}{3}) + 11$

Этап 5.2.1.3

Возведем $11$ в степень $3$ .

$f (- \frac{11}{3}) = - \frac{1331}{3^{3}} + 4 {(- \frac{11}{3})}^{2} - 11 (- \frac{11}{3}) + 11$

Этап 5.2.1.4

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f (- \frac{11}{3}) = - \frac{1331}{27} + 4 {(- \frac{11}{3})}^{2} - 11 (- \frac{11}{3}) + 11$

Этап 5.2.1.5

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.5.1

Применим правило умножения к $- \frac{11}{3}$ .

$f (- \frac{11}{3}) = - \frac{1331}{27} + 4 ({(- 1)}^{2} {(\frac{11}{3})}^{2}) - 11 (- \frac{11}{3}) + 11$

Этап 5.2.1.5.2

Применим правило умножения к $\frac{11}{3}$ .

$f (- \frac{11}{3}) = - \frac{1331}{27} + 4 ({(- 1)}^{2} (\frac{11^{2}}{3^{2}})) - 11 (- \frac{11}{3}) + 11$

Этап 5.2.1.6

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- \frac{11}{3}) = - \frac{1331}{27} + 4 (1 (\frac{11^{2}}{3^{2}})) - 11 (- \frac{11}{3}) + 11$

Этап 5.2.1.7

Умножим $\frac{11^{2}}{3^{2}}$ на $1$ .

$f (- \frac{11}{3}) = - \frac{1331}{27} + 4 (\frac{11^{2}}{3^{2}}) - 11 (- \frac{11}{3}) + 11$

Этап 5.2.1.8

Возведем $11$ в степень $2$ .

$f (- \frac{11}{3}) = - \frac{1331}{27} + 4 (\frac{121}{3^{2}}) - 11 (- \frac{11}{3}) + 11$

Этап 5.2.1.9

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (- \frac{11}{3}) = - \frac{1331}{27} + 4 (\frac{121}{9}) - 11 (- \frac{11}{3}) + 11$

Этап 5.2.1.10

Умножим $4 (\frac{121}{9})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.10.1

Объединим $4$ и $\frac{121}{9}$ .

$f (- \frac{11}{3}) = - \frac{1331}{27} + \frac{4 \cdot 121}{9} - 11 (- \frac{11}{3}) + 11$

Этап 5.2.1.10.2

Умножим $4$ на $121$ .

$f (- \frac{11}{3}) = - \frac{1331}{27} + \frac{484}{9} - 11 (- \frac{11}{3}) + 11$

Этап 5.2.1.11

Умножим $- 11 (- \frac{11}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.11.1

Умножим $- 1$ на $- 11$ .

$f (- \frac{11}{3}) = - \frac{1331}{27} + \frac{484}{9} + 11 (\frac{11}{3}) + 11$

Этап 5.2.1.11.2

Объединим $11$ и $\frac{11}{3}$ .

$f (- \frac{11}{3}) = - \frac{1331}{27} + \frac{484}{9} + \frac{11 \cdot 11}{3} + 11$

Этап 5.2.1.11.3

Умножим $11$ на $11$ .

$f (- \frac{11}{3}) = - \frac{1331}{27} + \frac{484}{9} + \frac{121}{3} + 11$

Этап 5.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Умножим $\frac{484}{9}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{11}{3}) = - \frac{1331}{27} + \frac{484}{9} \cdot \frac{3}{3} + \frac{121}{3} + 11$

Этап 5.2.2.2

Умножим $\frac{484}{9}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{11}{3}) = - \frac{1331}{27} + \frac{484 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{121}{3} + 11$

Этап 5.2.2.3

Умножим $\frac{121}{3}$ на $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{11}{3}) = - \frac{1331}{27} + \frac{484 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{121}{3} \cdot \frac{9}{9} + 11$

Этап 5.2.2.4

Умножим $\frac{121}{3}$ на $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{11}{3}) = - \frac{1331}{27} + \frac{484 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{121 \cdot 9}{3 \cdot 9} + 11$

Этап 5.2.2.5

Запишем $11$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (- \frac{11}{3}) = - \frac{1331}{27} + \frac{484 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{121 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{11}{1}$

Этап 5.2.2.6

Умножим $\frac{11}{1}$ на $\frac{27}{27}$ .

$f (- \frac{11}{3}) = - \frac{1331}{27} + \frac{484 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{121 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{11}{1} \cdot \frac{27}{27}$

Этап 5.2.2.7

Умножим $\frac{11}{1}$ на $\frac{27}{27}$ .

$f (- \frac{11}{3}) = - \frac{1331}{27} + \frac{484 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{121 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{11 \cdot 27}{27}$

Этап 5.2.2.8

Изменим порядок множителей в $9 \cdot 3$ .

$f (- \frac{11}{3}) = - \frac{1331}{27} + \frac{484 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{121 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{11 \cdot 27}{27}$

Этап 5.2.2.9

Умножим $3$ на $9$ .

$f (- \frac{11}{3}) = - \frac{1331}{27} + \frac{484 \cdot 3}{27} + \frac{121 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{11 \cdot 27}{27}$

Этап 5.2.2.10

Умножим $3$ на $9$ .

$f (- \frac{11}{3}) = - \frac{1331}{27} + \frac{484 \cdot 3}{27} + \frac{121 \cdot 9}{27} + \frac{11 \cdot 27}{27}$

Этап 5.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{11}{3}) = \frac{- 1331 + 484 \cdot 3 + 121 \cdot 9 + 11 \cdot 27}{27}$

Этап 5.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Умножим $484$ на $3$ .

$f (- \frac{11}{3}) = \frac{- 1331 + 1452 + 121 \cdot 9 + 11 \cdot 27}{27}$

Этап 5.2.4.2

Умножим $121$ на $9$ .

$f (- \frac{11}{3}) = \frac{- 1331 + 1452 + 1089 + 11 \cdot 27}{27}$

Этап 5.2.4.3

Умножим $11$ на $27$ .

$f (- \frac{11}{3}) = \frac{- 1331 + 1452 + 1089 + 297}{27}$

Этап 5.2.5

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Добавим $- 1331$ и $1452$ .

$f (- \frac{11}{3}) = \frac{121 + 1089 + 297}{27}$

Этап 5.2.5.2

Добавим $121$ и $1089$ .

$f (- \frac{11}{3}) = \frac{1210 + 297}{27}$

Этап 5.2.5.3

Добавим $1210$ и $297$ .

$f (- \frac{11}{3}) = \frac{1507}{27}$

Этап 5.2.6

Окончательный ответ: $\frac{1507}{27}$ .

$\frac{1507}{27}$

Этап 6

Горизонтальные касательные функции $f (x) = x^{3} + 4 x^{2} - 11 x + 11$ ― $y = 5, y = \frac{1507}{27}$ .

$y = 5, y = \frac{1507}{27}$

Этап 7