Математический анализ Примеры

$y = 6 x + 12 \sin (x)$

Этап 1

Примем $y$ как функцию $x$ .

$f (x) = 6 x + 12 \sin (x)$

Этап 2

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $6 x + 12 \sin (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [12 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [12 \sin (x)]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12 \sin (x)]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [12 \sin (x)]$

Этап 2.2.3

Умножим $6$ на $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [12 \sin (x)]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [12 \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 \sin (x)$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$6 + 12 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 2.3.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$6 + 12 \cos (x)$

Этап 3

Приравняем производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $6 + 12 \cos (x) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$12 \cos (x) = - 6$

Этап 3.2

Разделим каждый член $12 \cos (x) = - 6$ на $12$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разделим каждый член $12 \cos (x) = - 6$ на $12$ .

$\frac{12 \cos (x)}{12} = \frac{- 6}{12}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{12 \cos (x)}{12} = \frac{- 6}{12}$

Этап 3.2.2.1.2

Разделим $\cos (x)$ на $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 6}{12}$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Сократим общий множитель $- 6$ и $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1

Вынесем множитель $6$ из $- 6$ .

$\cos (x) = \frac{6 (- 1)}{12}$

Этап 3.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $6$ из $12$ .

$\cos (x) = \frac{6 \cdot - 1}{6 \cdot 2}$

Этап 3.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\cos (x) = \frac{6 \cdot - 1}{6 \cdot 2}$

Этап 3.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\cos (x) = \frac{- 1}{2}$

Этап 3.2.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

Этап 3.3

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Этап 3.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Точное значение $\arccos (- \frac{1}{2})$ : $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Этап 3.5

Функция косинуса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Этап 3.6

Упростим $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Этап 3.6.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Этап 3.6.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Этап 3.6.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.3.1

Умножим $3$ на $2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Этап 3.6.3.2

Вычтем $2 π$ из $6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Этап 3.7

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 3.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 3.7.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 3.8

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 4

Решим исходную функцию $f (x) = 6 x + 12 \sin (x)$ в точке $x = \frac{2 π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{2 π}{3}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 6 (\frac{2 π}{3}) + 12 \sin (\frac{2 π}{3})$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 3 (2) (\frac{2 π}{3}) + 12 \sin (\frac{2 π}{3})$

Этап 4.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{2 π}{3}) = 3 \cdot (2 (\frac{2 π}{3})) + 12 \sin (\frac{2 π}{3})$

Этап 4.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{2 π}{3}) = 2 (2 π) + 12 \sin (\frac{2 π}{3})$

Этап 4.2.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 π + 12 \sin (\frac{2 π}{3})$

Этап 4.2.1.3

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 π + 12 \sin (\frac{π}{3})$

Этап 4.2.1.4

Точное значение $\sin (\frac{π}{3})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 π + 12 (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 4.2.1.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.5.1

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 π + 2 (6) (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 4.2.1.5.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 π + 2 \cdot (6 (\frac{\sqrt{3}}{2}))$

Этап 4.2.1.5.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 π + 6 \sqrt{3}$

Этап 4.2.2

Окончательный ответ: $4 π + 6 \sqrt{3}$ .

$4 π + 6 \sqrt{3}$

Этап 5

Решим исходную функцию $f (x) = 6 x + 12 \sin (x)$ в точке $x = \frac{4 π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{4 π}{3}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = 6 (\frac{4 π}{3}) + 12 \sin (\frac{4 π}{3})$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = 3 (2) (\frac{4 π}{3}) + 12 \sin (\frac{4 π}{3})$

Этап 5.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{4 π}{3}) = 3 \cdot (2 (\frac{4 π}{3})) + 12 \sin (\frac{4 π}{3})$

Этап 5.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{4 π}{3}) = 2 (4 π) + 12 \sin (\frac{4 π}{3})$

Этап 5.2.1.2

Умножим $4$ на $2$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = 8 π + 12 \sin (\frac{4 π}{3})$

Этап 5.2.1.3

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в третьем квадранте.

$f (\frac{4 π}{3}) = 8 π + 12 (- \sin (\frac{π}{3}))$

Этап 5.2.1.4

Точное значение $\sin (\frac{π}{3})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = 8 π + 12 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 5.2.1.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ в числитель.

$f (\frac{4 π}{3}) = 8 π + 12 (\frac{- \sqrt{3}}{2})$

Этап 5.2.1.5.2

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = 8 π + 2 (6) (\frac{- \sqrt{3}}{2})$

Этап 5.2.1.5.3

Сократим общий множитель.

$f (\frac{4 π}{3}) = 8 π + 2 \cdot (6 (\frac{- \sqrt{3}}{2}))$

Этап 5.2.1.5.4

Перепишем это выражение.

$f (\frac{4 π}{3}) = 8 π + 6 (- \sqrt{3})$

Этап 5.2.1.6

Умножим $- 1$ на $6$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = 8 π - 6 \sqrt{3}$

Этап 5.2.2

Окончательный ответ: $8 π - 6 \sqrt{3}$ .

$8 π - 6 \sqrt{3}$

Этап 6

Горизонтальные касательные функции $f (x) = 6 x + 12 \sin (x)$ ― $y = 4 π + 6 \sqrt{3}, y = 8 π - 6 \sqrt{3}$ .

$y = 4 π + 6 \sqrt{3}, y = 8 π - 6 \sqrt{3}$

Этап 7